Sierpiński-Konstante

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Sierpinski-Konstante K. Für die nach Sierpinski benannte Zahlenfolge siehe Sierpinski-Zahl.

Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

K = \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}{r_2(k)\over k} - \pi\ln n\right),

wobei r_2(k) die Anzahl der Darstellungen von k in der Form a^2+b^2 mit ganzen Zahlen a und b unter Beachtung der Reihenfolge, \pi die Kreiszahl und ln der natürliche Logarithmus ist.

Darstellungsformen[Bearbeiten]

Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante K ist

K = \pi\left(2\gamma+\ln\frac{4\pi^3}{\Gamma(1/4)^4}\right)

mit der Euler-Mascheroni-Konstante \gamma und der Gammafunktion \Gamma. Aufgrund der Relation

 \Gamma(1/4) = \frac{\pi\sqrt{2}}{\Gamma(3/4)}

ergibt sich die alternative Darstellung

 K = \pi (2 \gamma + 4 \ln\Gamma(\tfrac{3}{4}) - \ln\pi).

Die Dezimalentwicklung von K ist

K = 2,58498\text{ }17595\text{ }79253\text{ }21706\text{ }58935\text{ }87383\text{ }17116\text{ }00880\text{ }51651\text{ }85263\text{ }... (Folge A062089 in OEIS)

rn(k)-Funktion[Bearbeiten]

k r_2(k)
0 1
1 4
2 4
3 0
4 4
5 8
6 0
7 0
25 12
65 16

(Folge A004018 in OEIS).

Die Sierpiński-Konstante tritt bei der Untersuchung der Asymptotik der (im Englischen als Sum of Squares bezeichneten) Funktion

r_n(k) = \bigl|\bigl\{ (a_1, a_2, \ldots, a_n) \in \Z^n \mid a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = k \bigr\}\bigr|

für den Fall n=2 auf (etwa um den Fall n=4 geht es beim Satz von Jacobi).

Beispielsweise ist r_2(3) = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während r_2(13) = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen, \scriptstyle(\pm3)^2+(\pm2)^2 und \scriptstyle(\pm2)^2+(\pm3)^2, jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu \textstyle\sum_{n>a}^{n\leq b}\tau(n)f(n), gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe \textstyle\sum_{n>a}^{n\leq b}\tau(n)f(n), wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; im Internet-Archiv; „K=2,5849817596“ auf S. 27; Jahrbuch-Bericht)
  • Steven R. Finch: Sierpinski’s constant, Kapitel 2.10 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 122–125 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants)

Weblinks[Bearbeiten]