Sierpiński-Zahl

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Sierpinski-Zahlen. Für die nach Sierpinski benannte Konstante, siehe Sierpinski-Konstante.

Eine Sierpinski-Zahl (benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński) ist eine natürliche, ungerade Zahl k, deren Folge aus Zahlen der Form k\cdot 2^n+1 mit n \ge 1 keine Primzahlen enthält.

Gegenbeispiel[Bearbeiten]

Die Zahl k=19 ist keine Sierpinski-Zahl, da in der Folge 19\cdot 2^n+1 wenigstens eine Primzahl auftritt: 39, 77, 153, 305, 609, 1.217,...

Eine solche auftauchende Primzahl nennt man Prothsche Primzahl.

Sierpinski-Problem[Bearbeiten]

Das Sierpinski-Problem lautet: Welche ist die kleinste Sierpinski-Zahl?. 1967 hat John L. Selfridge gezeigt, dass 78.557 eine Sierpinski-Zahl ist. Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78.557 die kleinste Sierpinski-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpinski-Zahl handelt.

Um den Beweis durchzuführen, muss für jedes k kleiner als 78.557 eine Zahl n gefunden werden, so dass die resultierende Proth-Zahl N=k2^n+1 eine Primzahl ist. Dieser Beweis ist (Stand 03/2010) bereits für alle k bis auf 6 Zahlen erfolgt: 10.223, 21.181, 22.699, 24.737, 55.459 und 67.607.

Riesel-Zahl[Bearbeiten]

Eine Riesel-Zahl (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Hans Riesel) ist eine natürliche, ungerade Zahl k, deren Folge aus Zahlen der Form k\cdot 2^n-1 mit n \ge 1 keine Primzahlen enthält.

Gegenbeispiel[Bearbeiten]

Die Zahl k=23 ist keine Riesel-Zahl, da in der Folge 23\cdot 2^n-1 wenigstens eine Primzahl auftritt: 45, 91, 183, 367

Die kleinste Riesel-Zahl[Bearbeiten]

Riesel selbst fand 1956 mit 509.203 eine Riesel-Zahl. Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 509.203 die kleinste Riesel-Zahl ist.

Brier-Zahl[Bearbeiten]

Durch Eric Brier wurde nach Zahlen k gesucht, die gleichzeitig Sierpinski- und Riesel-Zahl sind, d.h.

k\cdot 2^n+1 und k\cdot 2^n-1

sind für alle n stets zusammengesetzt. Derartige Zahlen heißen Brier-Zahlen.

Die erste 1998 gefundene Brier-Zahl ist die 41ziffrige

29364695660123543278115025405114452910889

Yves Gallot ermittelte 2000 eine 27stellige Brier-Zahl

878503122374924101526292469

2007 fanden Michael Filaseta, Carrie Finch und Mark Kozek die kleinste im Moment bekannte Brier-Zahl

143665583045350793098657

Die kleinsten bekannten Brier-Zahlen werden in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences aufgelistet: Liste der kleinsten bekannten Brier-Zahlen.

Weblinks[Bearbeiten]