σ-Algebra

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Eine σ-Algebra (auch σ-Mengenalgebra, Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) ist ein Grundbegriff der Maßtheorie. Als solcher wird sie auch in der Stochastik häufig verwendet. Eine σ-Algebra ist eine mengentheoretische Struktur, sie bezeichnet ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge, das die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen.

[Bearbeiten] Definition

Als σ-Algebra bezeichnet man in der Mathematik ein Mengensystem (in der Stochastik das Ereignissystem) $\mathcal A$ mit $\mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)$ ( $\mathcal P$ Potenzmenge) , also eine Menge $\mathcal A$ von Teilmengen der Grundmenge (in der Stochastik: Ergebnismenge) $Ω$ , welche die folgenden Bedingungen erfüllt:

$\Omega \in \mathcal A$ (Die Grundmenge $Ω$ ist in $\mathcal A$ enthalten.)
$A \in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathsf c} \in \mathcal A\quad$ (Wenn $\mathcal A$ eine Teilmenge $A$ von $Ω$ enthält, dann auch deren Komplement $A^{\mathsf c}=\Omega\setminus A$ .)
$A_1,A_2, \ldots \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal A$ . (Wenn für jede natürliche Zahl $n$ die Menge $A n$ in $\mathcal A$ ist, so ist auch die abzählbare Vereinigung aller $A n$ in $\mathcal A$ .)

[Bearbeiten] Erläuterungen

Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt, dass $\mathcal A$ immer das Komplement von $Ω$ , also die leere Menge enthält. Aufgrund der Eigenschaft 2 kann man in Eigenschaft 1 alternativ zu $\Omega \in \mathcal A$ auch $\emptyset \in \mathcal A$ fordern.
Wählt man in Bedingung 3 die Mengen $A_m=\emptyset$ für alle $m > n$ , so folgt, dass die endliche Vereinigungsmenge $A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ in $\mathcal A$ enthalten ist.
Ist $A_n\in\mathcal A$ für jede natürliche Zahl $n$ , so folgt aus den De Morganschen Gesetzen und den Bedingungen 2 und 3, dass auch die Schnittmenge in $\mathcal A$ ist, weil

$\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n=\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n^{\mathsf c}\right)^{\!\!\mathsf c}$

Wählt man $A m = Ω$ für alle $m > n$ , so folgt, dass der Durchschnitt $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n$ von endlich vielen Mengen in $\mathcal A$ enthalten ist. Eine σ-Algebra ist also abgeschlossen gegenüber endlichen und abzählbar unendlichen Durchschnitten.
Sind $A$ und $B$ aus $\mathcal A$ , so ist auch $A\setminus B=A\cap B^{\mathsf c}$ in $\mathcal A$ . Also ist $\mathcal A$ abgeschlossen gegen Mengendifferenz.
Ferner ist jede σ-Algebra insbesondere auch ein Dynkin-System.

[Bearbeiten] Beispiele

Für jede beliebige Menge $Ω$ ist $\{\emptyset,\Omega\}$ die kleinste und die Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ die größte mögliche σ-Algebra.
Für jede beliebige Menge $Ω$ und Teilmenge $A \subseteq \Omega$ ist $\mathcal A = \{ \emptyset, A, A^{\mathsf c}, \Omega \}$ die kleinste σ-Algebra, die $A$ enthält.
Für jeden topologischen Raum $Ω$ existiert die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von $Ω$ , die unter anderem alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen von $Ω$ enthält.
Die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen der reellen Zahlen enthält unter anderem alle Intervalle.
Über einer Grundmenge $Ω$ ist das Mengensystem $\mathcal A=\{A\subset\Omega\mid A\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar\ oder}\ A^{\mathsf c}\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar}\}$ eine $σ$ -Algebra. Ist hierbei $Ω$ überabzählbar, so ist eine Funktion $f:\Omega\to\bar\mathbb R_+$ genau dann messbar, wenn sie auf dem Komplement einer abzählbaren Menge konstant ist.

[Bearbeiten] Bedeutung

σ-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des Maßraums und des Wahrscheinlichkeitsraums. Das Banach-Tarski-Paradoxon demonstriert, dass auf überabzählbaren Mengen die durch die Potenzmenge gebildete σ-Algebra als Grundlage für die Volumenbestimmung zu groß sein kann und die Betrachtung anderer σ-Algebren mathematisch notwendig ist. In der Theorie der stochastischen Prozesse, insbesondere in der stochastischen Finanzmathematik, wird die bis zu einem Zeitpunkt prinzipiell beobachtbare Information durch eine σ-Algebra beschrieben, was zum Begriff der Filtrierung, also einer zeitlich aufsteigenden Familie von σ-Algebren führt. Filtrierungen sind essentiell für die allgemeine Theorie der stochastischen Integration; Integranden (also finanzmathematische Handelsstrategien) dürfen zu einer Zeit $t$ nur von den Informationen bis (ausschließlich) $t$ abhängen; insbesondere dürfen sie nicht „in die Zukunft schauen“.

[Bearbeiten] σ-Operator

1. Für eine beliebige Teilmenge $M$ der Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ ist der $σ$ -Operator definiert als

$\sigma(M):=\bigcap_{ \mathcal A \in\mathcal F(M)}\!\!\mathcal A,$

wobei

$\mathcal F(M)=\{\mathcal A \subseteq\mathcal P(\Omega) \mid M\subseteq\mathcal A, \mathcal A\ \sigma\text{-Algebra}\}.$

Da die Schnittmenge einer Familie von $σ$ -Algebren (über derselben Grundmenge $Ω$ ) wieder eine $σ$ -Algebra ist, ist $σ$ (M) somit die kleinste $σ$ -Algebra, die $M$ umfasst.

Der $σ$ -Operator erfüllt die fundamentalen Eigenschaften eines Hüllenoperators:

$M \subseteq \sigma(M)$ , also der $σ$ -Operator ist extensiv.
Gilt $M\subseteq N$ , so ist auch $\sigma(M)\subseteq\sigma(N)$ (Monotonie bzw. Isotonie).
Es ist $σ(σ(M)) = σ(M)$ (Idempotenz).

$σ(M)$ wird als die von $M$ erzeugte $σ$ -Algebra bezeichnet, $M$ heißt Erzeuger dieser $σ$ -Algebra.

2. Sind $f_1, \ldots, f_n$ Funktionen von $Ω$ in Messräume $(\Omega_1, \mathcal A_1), \ldots, (\Omega_n, \mathcal A_n)$ , so ist

$\sigma(f_1, \ldots, f_n) = \sigma(\{f_i^{-1}(A) \mid 1 \le i \le n, \, A \in \mathcal A_i\})$

die kleinste $σ$ -Algebra über $Ω$ , bezüglich derer die $f i$ messbar sind. Sie wird als die von $f_1, \ldots, f_n$ erzeugte $σ$ -Algebra bezeichnet. Entsprechendes gilt für beliebige Indexmengen $I$ statt $\{1, \ldots, n\}$ .

[Bearbeiten] Spur-σ-Algebra

Für $E \subseteq \Omega$ wird das Mengensystem $\mathcal A|E:=\{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \}$ als Spur von $\mathcal A$ in $E$ bzw. Spur-σ-Algebra von $\mathcal A$ über $E$ bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Spur von $\mathcal A$ in $E$ wieder eine σ-Algebra (aber mit der Grundmenge $E$ ) ist, was den Namen "Spur-σ-Algebra" rechtfertigt.

[Bearbeiten] Literatur

Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin–New York 1992. ISBN 3-11-013626-0
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. ISBN 3-540-65420-8
Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. ISBN 3-411-03102-6

[Bearbeiten] Siehe auch

σ-Algebra

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Erläuterungen

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Bedeutung

[Bearbeiten] σ-Operator

[Bearbeiten] Spur-σ-Algebra

[Bearbeiten] Literatur

[Bearbeiten] Siehe auch

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