σ-endliches Maß

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Der Begriff der \sigma-Endlichkeit (auch \sigma-Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in \sigma-endliche und nicht \sigma-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge.

Definition[Bearbeiten]

Ein positives Maß \mu, definiert auf einer \sigma-Algebra \mathcal A über einer Grundmenge \Omega, heißt \sigma-endlich, wenn es abzählbar viele messbare Mengen A\in\mathcal A mit endlichem Maß, das heißt \mu(A)<\infty gibt, deren Vereinigung \Omega ist. Der Maßraum (\Omega, \mathcal{A}, \mu) wird dann ebenfalls \sigma-endlich genannt. Eine Menge, für die der Maßraum eingeschränkt auf diese \sigma-endlich ist, heißt \sigma-endliche Menge.

Die Definition lässt sich auf signierte Maße ausweiten: Ein signiertes Maß \nu heißt \sigma-endlich, wenn |\nu| \sigma-endlich ist.

Anwendung[Bearbeiten]

  • Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der \sigma-endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, \sigma-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodym und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht \sigma-endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle \sigma-endlichen Teilräume anwendet).
  • Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von \sigma-endlichen Maßen definiert.

Beispiele[Bearbeiten]

Inhalte und Prämaße[Bearbeiten]

Völlig analog spricht man auch auf Halbringen von \sigma-endlichen Inhalten und Prämaßen. Nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory ist jedes \sigma-endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten \sigma-Algebra fortsetzbar (ohne \sigma-Endlichkeit folgt nicht die Eindeutigkeit).

Literatur[Bearbeiten]