Simplex (Mathematik)

Ein 3-Simplex oder Tetraeder

Das Simplex oder n-Simplex (Plural: Simplexe, Simplizes oder in älterer Literatur auch Simplices) ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt ein $n$-dimensionales Polytop.

Dabei ist ein Simplex die einfachste Form eines Polytops. Jedes $n$-dimensionales Simplex besitzt $n + 1$ Ecken . Man erzeugt ein $n$-Simplex aus einem $(n-1)$-Simplex, indem man einen affin unabhängigen Punkt (s. u.) hinzunimmt und alle Ecken des niedrigerdimensionalen Simplex mit diesem Punkt in Form einer Kegelbildung durch Strecken verbindet . Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder. Ein $n$-Simplex $(n \in \N)$ ist die Fortsetzung dieser Reihe auf $n$ Dimensionen.

Definitionen

Sei $k \in \N$ und seien $v_0,\ldots, v_k$ endlich viele Punkte eines Vektorraums $V$ über $\R$ . Man sagt, diese Punkte sind affin unabhängig , falls es keinen $(k-1)$-dimensionalen affinen Unterraum $V_0 \subset V$ gibt, in dem die $k+1$ Punkte liegen. Eine äquivalente Formulierung ist: Die Menge $\{v_1-v_0, \ldots , v_k-v_0\}$ ist linear unabhängig. In diesem Falle ist jeder der Punkte $v_j (j=0, 1,\ldots ,k )$ von den übrigen Punkten $v_0,\ldots,v_{j-1}, v_{j+1},\ldots, v_k$ affin unabhängig und genauso von dem durch die $v_0,\ldots,v_{j-1}, v_{j+1},\ldots, v_k$ aufgespannten affinen Unterraum.

Eine Menge von Punkten eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V$ über $\R$ $(n \in \N$) nennt man in allgemeiner Lage, wenn jede aus höchstens $n+1$ Punkten bestehende Teilmenge affin unabhängig ist.

Sind nun $k+1$ $v_0, \ldots , v_k (k \leq n)$ affin unabhängige Punkte des $\R^n$ (oder eines n-dimensionalen Vektorraums über $\R$) gegeben, so ist das von $v_0, \ldots , v_k$ aufgespannte (oder erzeugte) Simplex $\Delta$ gleich folgender Menge:

$\Delta = \left\{x \in \R^n: x = \sum_{i=0}^kt_iv_i\ \text{mit}\ 0 \leq t_i\leq 1\ \text{und}\ \sum_{i=0}^kt_i=1\right\}$.

Die Punkte $v_i$ werden Eckpunkte von $\Delta$ genannt und $k$ ist die Dimension des Simplexes. Ein Simplex der Dimension k wird auch kurz k-Simplex genannt. Ein Simplex ist also nichts weiter als die konvexe Hülle von endlich vielen affin unabhängigen Punkten im $\R^n$, welche dann die Eckpunkte dieses Simplexes sind.

Es sei $\Delta$ ein Simplex. Jedes in $\Delta$ enthaltene Simplex, welches durch eine nicht leere Teilmenge der Eckpunkte von $\Delta$ aufgespannt wird, heißt Seite (seltener Facette oder Untersimplex) von $\Delta$. Die nulldimensionalen Seiten (Facetten) sind gerade die Eckpunkte oder Ecken, die 1-Seiten (oder 1-Facetten) sind die Kanten und die $(n-1)$-Seiten oder $(n-1)$-Facetten heißen Seitenflächen. Die Anzahl der $d$-Seiten (oder $d$-Facetten) des $k$-Simplex ist gleich dem Binomialkoeffizienten $\tbinom{k+1}{d+1}$.

Das $n$-Simplex ist das einfachste $n$-dimensionale Polytop, gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das Simplex-Verfahren aus der linearen Optimierung und genauso das Downhill-Simplex-Verfahren in der nichtlinearen Optimierung benannt.

Beispiel

• Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder (vier Ecken, vier Seitenflächen aus Dreiecken, sechs Kanten); er wird erzeugt aus einem Dreieck (2-Simplex), zu dem ein Punkt, welcher nicht in der Dreiecksebene liegt, hinzugenommen und mit allen Ecken des Dreiecks verbunden wird.
• Ein Modell eines $n$-Simplex im $\R^n$ (und zwar eines mit rechtwinkliger Ecke im Ursprung) ist durch

$\{x\in\R^n\mid x_i\geq0,\, x_1+\dotsb+x_n\leq1\}$

gegeben. Dieses Simplex heißt Einheitssimplex.

Simplexe mit einer rechtwinkligen Ecke

Eine rechtwinklige Ecke bedeutet hier, dass je 2 in dieser Ecke zusammenlaufende Kanten einen rechten Winkel bilden. Oder anders ausgedrückt, das $n$-Simplex hat eine Ecke, an der seine an ihr anliegenden $n$-dimensionalen Hyperflächen zueinander orthogonal sind. Ein solches Simplex stellt eine Verallgemeinerung rechtwinkliger Dreiecke dar und in ihm gilt eine n-dimensionale Version des Satzes von Pythagoras:

Die Summe der quadrierten $n-1$-dimensionalen Volumen der an der rechtwinkligen Ecke anliegenden Hyperflächen ist gleich dem quadrierten $n-1$-dimensionalen Volumen der der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegenden Hyperfläche. Es gilt also

$\sum_{k=1}^n |A_k|^2 = |A_0|^2.$

Hierbei sind die Hyperflächen $A_1\ldots A_n$ paarweise orthogonal zueinander aber nicht orthogonal zu der Hyperfläche $A_0$, die der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegt.

Im Falle eines 2-Simplex entspricht dies einem rechtwinkligen Dreieck und dem Satz des Pythagoras und bei einem 3-Simplex einem Tetraeder mit einer Würfelecke und dem Satz von de Gua.

Grundlegende Homöomorphieeigenschaften

1. Zwei Simplexe $\Delta \subset \R^n$ und ${\Delta}^* \subset \R^m$ gleicher Dimension sind stets homöomorph. Eine solche Homöomorphie liegt also vor dann und nur dann, wenn die Eckpunktmengen beider Simplexe identische Anzahl haben.
2. Ein k-Simplex jedes $\R^n$ ist stets homöomorph zur abgeschlossenen k-dimensionalen Einheitskugel $\overline{B_{\R^k}} = \{v \in \R^k : \| v \|_2 \leq1 \} \subset \R^k$. Folglich ist jedes Simplex eines euklidischen Raumes eine kompakte Menge.

Euklidischer simplizialer Komplex

Ein euklidischer simplizialer Komplex (engl. Euclidean simplicial complex), in der deutschen Literatur meist simplizialer Komplex genannt, ist eine Familie $\mathcal{K}$ von Simplizes im $\R^n$ mit folgenden Eigenschaften:

1. Mit jedem Simplex $\Delta \in \mathcal{K}$ gehört auch jede Seite von $\Delta$ zu $\mathcal{K}$.
2. Der Schnitt von zwei Simplizes von $\mathcal{K}$ ist leer oder gemeinsame Seite beider Simplizes.
3. Jeder Punkt eines Simplex aus $\mathcal{K}$ hat ( bzgl. der Standardtopologie des $\R^n$) eine Umgebung, welche höchstens endlich viele Simplizes aus $\mathcal{K}$ schneidet (Lokalendlichkeit).

Die Vereinigung $\Sigma = \bigcup {\mathcal{K}}$ , gebildet über alle Simplizes von $\mathcal{K}$ und versehen mit der vom $\R^n$ herrührenden Unterraumtopologie, heißt das zu $\mathcal{K}$ gehörige Polyeder. Die zugehörige Familie $\mathcal{K}$ nennt man dann auch eine Triangulation oder simpliziale Zerlegung von $\Sigma$. Falls ein solches $\mathcal{K}$ existiert, heißt $\Sigma$   triangulierbar.

Ein Polyeder, welches durch einen endlichen simplizialen Komplex trianguliert wird, ist stets eine kompakte Teilmenge des $\R^n$.

Abstrakter simplizialer Komplex

→ Hauptartikel: Simplizialkomplex

Ein abstrakter simplizialer Komplex (engl. abstract simplicial complex ) $\mathcal{K}$ ist eine Familie von nichtleeren, endlichen Mengen, welche (abstrakte) Simplizes genannt werden, und die folgende Eigenschaft erfüllt:

• Mit $\Delta \in \mathcal{K}$ ist stets auch jede nichtleere Teilmenge von $\Delta$ in $\mathcal{K}$ enthalten.

Jedes Element eines Simplex heißt Ecke und jede nichtleere Teilmenge heißt Seite (oder Facette). Die Dimension eines (abstrakten) Simplex mit $k+1$ Ecken ist definiert als $k$. Die Dimension eines Simplizialkomplexes ist definiert als das Maximum der Dimensionen aller darin vorkommenden Simplizes, sofern dieses Maximum existiert. In diesem Falle bezeichnet man den Simplizialkomplex als endlichdimensional und besagtes Maximum als seine Dimension. Falls die Dimensionen der Simplizes des Simplizialkomplexes über alle Grenzen wachsen, so heißt der Simplizialkomplex unendlichdimensional.

Anwendung

Eine Anwendung findet sich im Downhill-Simplex-Verfahren. Das ist ein Optimierungsverfahren, bei dem man $n$ Parameterwerte finden will, indem man sie so lange variiert, bis die Abweichung zwischen Messwerten und einer Theoriefunktion, die von diesen Parametern abhängt, minimal wird. Dazu wird im n-dimensionalen Parameterraum ein Simplex aus Parametersätzen aufgespannt, für jeden Punkt des Simplex die Fehlerfunktion berechnet und dann im Laufe des Algorithmus der jeweils „schlechteste“ dieser Punkte durch einen (hoffentlich) „besseren“ (mit kleinerem Fehlerwert) ersetzt, so lange, bis ein Konvergenz- oder sonstiges Abbruchkriterium erfüllt ist. Als Anfangskonfiguration wird meistens ein Simplex mit einer rechtwinkligen Ecke (wie oben erläutert) verwendet.

Simplexe, simpliziale Komplexe und Polyeder finden darüber hinaus eine breite Anwendung in der Topologie. Als eines der herausragenden Anwendungsbeispiele ist hier der Fixpunktsatz von Brouwer zu nennen, von dem Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz im Jahre 1929 gezeigt haben, dass dieser Satz und verwandte Sätze der Topologie im Rahmen der Simplextheorie mit elementaren kombinatorischen Methoden, insbesondere unter Benutzung des Spernerschen Lemmas, ableitbar sind.

Literatur

Artikel

• B. Knaster, K. Kuratowski, S. Mazurkiewicz: Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe. In: Fund. Math. 14, 1929, S. 132-137.

Monographien

•  Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X. MR0533264
•  John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York [u.a.] 2011, ISBN 978-1-4419-7939-1.
•  Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.

Weblinks

 Commons: Simplex – Sammlung von Bildern