Simplizialkomplex

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ein Simplizialkomplex ist ein Begriff der algebraischen Topologie. Bei einem Simplizialkomplex handelt es sich um ein rein algebraisch beschreibbares Objekt, mit dessen Hilfe die entscheidenden Eigenschaften von bestimmten, als triangulierbar bezeichneten topologischen Räumen algebraisch charakterisiert werden können. Insbesondere werden Simplizialkomplexe dazu verwendet, für den zugrundeliegenden topologischen Raum Invarianten zu definieren.

Die Idee des Simplizialkomplexes besteht darin, einen topologischen Raum dadurch zu untersuchen, dass – sofern möglich – durch Zusammenfügen von Simplizes eine Menge im d-dimensionalen euklidischem Raum konstruiert wird, die homöomorph ist zum gegebenen topologischen Raum. Die „Anleitung zum Zusammenbau“ der Simplizes, das heißt die Angaben darüber, wie die Simplizes zusammengefügt sind, wird dann in Form einer Sequenz von Gruppenhomomorphismen rein algebraisch charakterisiert.

Definition[Bearbeiten]

Ein dreidimensionaler Simplizialkomplex

Ein abstraktes Simplex \sigma ist eine endliche nichtleere Menge. Ein Element eines abstrakten Simplexes nennt man Ecke von \sigma, eine nichtleere Teilmenge von \sigma ist wieder ein abstraktes Simplex und wird Facette (oder Seite) von \sigma genannt.

Ein (abstrakter) Simplizialkomplex \mathcal{K} ist eine Menge von Simplizes mit der Eigenschaft, dass jede Facette \sigma'\subseteq\sigma eines Simplexes \sigma\in\mathcal{K} wieder zu \mathcal{K} gehört, also \sigma'\in\mathcal{K}. Die Vereinigungsmenge aller Ecken von Simplizes des Simplizialkomplexes K wird Eckenmenge oder Eckpunktbereich genannt und mit V(K) bezeichnet.[1]

Die Dimension eines abstrakten Simplex, das k+1 Ecken enthält, ist definiert als k und die Dimension des Simplizialkomplexes \mathcal{K} ist definiert als das Maximum der Dimension von allen Simplizes. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann heißt \mathcal{K} unendlichdimensional.

Der Simplizialkomplex \mathcal{K} heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist, und lokal endlich, falls jede Ecke nur zu endlich vielen Simplizes gehört.

Das n-Skelett K_n eines Simplizialkomplexes K ist die Vereinigung aller seiner Simplizes der Dimension \le n.

Geometrischer Simplizialkomplex[Bearbeiten]

Ein geometrischer Simplizialkomplex |K| ist eine Menge von Simplizes in einem euklidischen Raum \R^d mit der Eigenschaft, dass jede Facette \sigma'\subseteq\sigma eines Simplexes \sigma\in|K| wieder zu |K| gehört und dass für alle Simplizes \sigma,\tau\in |K| der Durchschnitt \sigma\cap\tau entweder leer oder eine gemeinsame Facette von \sigma und \tau ist.

Der geometrische Simplizialkomplex |K| heißt geometrische Realisierung des abstrakten Simplizialkomplex \mathcal{K}. Alle geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes sind zueinander homöomorph.

Der geometrische Simplizialkomplex trägt die schwache Topologie: Eine Menge A\subset|K| ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Schnitt mit jedem Simplex abgeschlossen ist.

Ein topologischer Raum heißt triangulierbar, wenn er homöomorph zu einem geometrischen Simplizialkomplex ist.

Simpliziale Abbildungen[Bearbeiten]

Eine simpliziale Abbildung f\colon K\to L ist eine Abbildung zwischen den Eckenmengen f\colon V(K)\to V(L), bei der für jedes Simplex aus K dessen Ecken unter der Abbildung f auf die Ecken eines Simplex in L abgebildet werden.[2]

Eine simpliziale Abbildung f\colon K\to L induziert eine stetige Abbildung \vert f\vert\colon\vert K\vert\to\vert L\vert. Dazu wird im Inneren jedes geometrischen Simplex eine affin lineare Fortsetzung konstruiert.

Umgekehrt lässt sich eine stetige Abbildung g\colon \vert K\vert\to\vert L\vert nach endlich vielen baryzentrische Unterteilungen durch eine simpliziale Abbildung f\colon Bd^m(K)\to L approximieren, siehe simplizialer Approximationssatz.

Der Simplizialkomplex als Kettenkomplex[Bearbeiten]

Sei \mathcal{K} ein endlicher Simplizialkomplex. Die p-te simpliziale Gruppe von \mathcal{K} ist die freie abelsche Gruppe, die von der Menge der Simplizes mit Dimension p erzeugt wird, sie wird mit C^\Delta_p(\mathcal{K}) notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale p-Ketten. Wählt man eine totale Ordnung für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von \mathcal{K} liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne p-Simplex. Ein Randoperator \partial \colon C^\Delta_p(\mathcal{K}) \to C^\Delta_{p-1}(\mathcal{K}) wird dann definiert durch

\partial(\langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_p} \rangle) := \sum_{i=0}^p (-1)^i \langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_{i-1}}, v_{k_{i+1}} , \ldots , v_{k_p} \rangle ,

wobei \langle  v_{k_0}, \ldots , v_{k_p} \rangle das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt \partial (\partial c)= 0 für alle simplizialen p-Ketten c. Daher ist (C^\Delta_p(\mathcal{K}),\partial) ein Kettenkomplex und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine Homologie erklären. Diese Homologie wird simpliziale Homologie genannt.

Geschichte[Bearbeiten]

Triangulierungen und ein in Matrixschreibweise formuliertes Äquivalent zu dem daraus gebildeten Kettenkomplex wurden von Henri Poincaré gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts untersucht. Simplizale Abbildungen wurde erstmals 1912 von Brouwer verwendet. In den 1920er-Jahren entstand dann die Sichtweise, die zum Begriff des Kettenkomplexes führte.[3]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 158 (online)
  2. H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 172 (online)
  3. Jean Dieudonné: A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, S. 4-6, Boston 1989, Reprint 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4

Quellen[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]