Konfinalität

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Die Konfinalität (auch: Kofinalität) ist in der Mathematik eine Eigenschaft von (partiellen) Ordnungen. In der Mengenlehre spielt sie als Eigenschaft von Ordinalzahlen und speziell Kardinalzahlen eine besondere Rolle. Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definition[Bearbeiten]

Sei \lambda eine durch \leq partiell geordnete Menge und X\subset\lambda. Die Menge X heißt konfinal (kofinal) in \lambda, falls zu jedem \eta \in \lambda ein \theta \in X mit \eta\leq\theta existiert.

Die Konfinalität von \lambda wird mit \operatorname{cf}(\lambda) bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalität einer konfinalen Teilmenge, d. h.

\operatorname{cf}(\lambda)=\min_{X\subset\lambda\text{ konfinal}} |X|.

Für eine Kardinalzahl \lambda führt man folgende Begriffe ein: Falls \operatorname{cf}(\lambda) < \lambda, so heißt \lambda singulär. Falls \operatorname{cf}(\lambda) = \lambda, so heißt \lambda regulär.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Konfinalität ist genau dann 0, wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
  • Die Konfinalität ist genau dann 1, wenn die Ordnung ein Maximum besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
  • Für nichtleere partiell geordnete Mengen ohne Maximum ist die Konfinalität mindestens abzählbar, also \aleph_0 (siehe Aleph-Funktion), und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
  • Für totalgeordnetes \lambda gilt \operatorname{cf}(\operatorname{cf}(\lambda))=\operatorname{cf}(\lambda), das heißt \operatorname{cf}(\lambda) ist regulär.
  • Für eine Nicht-Nachfolgerordinalzahl \lambda ist eine Teilmenge X genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung \textstyle\bigcup X gleich \lambda ist.
  • Besitzt eine unendliche Menge \operatorname{K} reguläre Kardinalität \kappa, so benötigt man mindestens \kappa-viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als \kappa, um \operatorname{K} als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
  • Für eine Limesordinalzahl \lambda ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als Netz, versehen mit der natürlichen Ordnung, in der Ordnungstopologie von \lambda+1 gegen \lambda konvergiert.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Konfinalität von \R mit der natürlichen Ordnung ist \aleph_0, denn die natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
  • \aleph_0 ist regulär.
  • Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
  • Die Kardinalzahl \aleph_\omega ist singulär. Es gilt \operatorname{cf}(\aleph_\omega) = \aleph_0, denn \{\aleph_i \mid i\in\N\} ist konfinale Teilmenge.
  • Ist \alpha eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist \aleph_\alpha stets regulär. Die Frage, ob es neben \aleph_0 weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der großen Kardinalzahlaxiome, d. h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= Vieweg-Studium 58 Grundkurs Mathematik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-07258-X.
  • Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.