Singuläres Maß

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Ein singuläres Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es spielt eine große Rolle bei der Klassifizierung von Maßen bezüglich einem anderen Maß und findet besondere Anwendung beim Zerlegungssatz von Lebesgue sowie beim Darstellungssatz in der Stochastik.

Definition[Bearbeiten]

Ein Maß \nu \colon \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty] heißt singulär bezüglich einem anderen Maß \mu (auch singulär zu \mu oder \mu-singulär), wenn es eine Menge N \in \mathcal{F} gibt mit

\nu(\Omega \setminus N)+\mu(N)=0.

Hierbei sind die Maße \mu und \nu auf dem gleichen Messraum (\Omega,\mathcal{F}) definiert. Für „\nu ist singulär bezüglich \mu“ schreibt man kurz \nu \perp \mu.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Das Null-Maß ist bezüglich jedem anderen Maß auf einem beliebigen Messraum singulär.
  • Jedes Dirac-Maß auf (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) ist bezüglich dem Lebesgue-Maß singulär.
  • Jede diskrete Verteilung auf (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) ist bezüglich dem Lebesgue-Maß singulär.
  • Die Cantor-Verteilung auf dem Messraum (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) ist eine stetige, singuläre Verteilung bezüglich dem Lebesgue-Maß.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Singularität von Maßen ist eine symmetrische Relation. Es gilt also

\nu \perp \mu \Leftrightarrow \mu \perp \nu.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.