Sinus versus und Kosinus versus

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Sinus versus (auch Versinus oder Versus, in Formeln abgekürzt \operatorname{versin}) und der Kosinus versus (auch Koversinus, in Formeln abgekürzt \operatorname{coversin}) sind in der Trigonometrie heute selten verwendete trigonometrische Funktionen. Semiversus (englisch Haversine, in Formeln abgekürzt \operatorname{sem}) ist der halbe Sinus versus.

Sinus versus[Bearbeiten]

Veranschaulichung am Einheitskreis: Der Sinus versus CD bildet zusammen mit dem Kosinus einen Radius.

Der Sinus Versus, in nebenstehender Abbildung in der Farbe grün eingezeichnet, wird mit Hilfe der Sinus- oder Kosinusfunktion definiert als[1]

\operatorname{versin}(\theta)=1-\cos(\theta)=2\sin^2\left(\frac\theta2\right).

Der Sinus versus kann auf die ganze komplexe Zahlenebene ausgeweitet werden.

Semiversus[Bearbeiten]

Der Semiversus ist die Hälfte des Sinus versus:[2]

\operatorname{sem}(\theta)=\frac{\operatorname{versin}(\theta)}2=\sin^2\left(\frac\theta2\right)

Kosinus versus[Bearbeiten]

Der Kosinus versus, in nebenstehender Abbildung in der Farbe türkis und aus Platzgründen mit cvs bezeichnet, ist der Sinus versus des Gegenarguments:[3]

\operatorname{coversin}(\theta)=\operatorname{versin}\left(\frac\pi2-\theta\right)=1-\sin(\theta).

Verwandte Funktionen[Bearbeiten]

Im folgender Tabelle sind die Funktionen Sinus versus und Kosinus versus zusammen mit einigen verwandten trigonometrischen Funktionen und dem grafischen Funktionsverlauf zusammengefasst:

\textrm{versin} (\theta) := 2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos (\theta) \, Versin plot.png
\textrm{vercosin} (\theta) := 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos (\theta) \, Vercosin plot.png
\textrm{coversin}(\theta) := \textrm{versin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) =  1 - \sin(\theta) \, Coversin plot.png
\textrm{covercosin}(\theta) := \textrm{vercosin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) =  1 + \sin(\theta) \, Covercosin plot.png
\textrm{haversin}(\theta) := \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \cos (\theta)}{2} \, Haversin plot.png
\textrm{havercosin}(\theta) := \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \, Havercosin plot.png
\textrm{hacoversin}(\theta) := \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \sin (\theta)}{2} \, Hacoversin plot.png
\textrm{hacovercosin}(\theta) := \frac {\textrm{covercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \sin (\theta)}{2} \, Hacovercosin plot.png

Die Ableitungen und die Stammfunktionen sind:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{versin}(x) = \sin{x} \int\mathrm{versin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \sin{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{vercosin}(x) = -\sin{x} \int\mathrm{vercosin}(x) \,\mathrm{d}x = x + \sin{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{coversin}(x) = -\cos{x} \int\mathrm{coversin}(x) \,\mathrm{d}x = x + \cos{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{covercosin}(x) = \cos{x} \int\mathrm{covercosin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \cos{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{haversin}(x) = \frac{\sin{x}}{2} \int\mathrm{haversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \sin{x}}{2} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{havercosin}(x) = \frac{-\sin{x}}{2} \int\mathrm{havercosin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \sin{x}}{2} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{hacoversin}(x) = \frac{-\cos{x}}{2} \int\mathrm{hacoversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \cos{x}}{2} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{hacovercosin}(x) = \frac{\cos{x}}{2} \int\mathrm{hacovercosin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \cos{x}}{2} + C

Geschichte und Verwendung[Bearbeiten]

Der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie spielte für die nautische Navigation nach den Sternen in früherer Zeit eine wichtige Rolle[4]. Um die dabei erforderlichen Multiplikationen trigonometrischer Funktionen durch das Nachschlagen von Tabellenwerten[5] zu vereinfachen, wurde der Semiversus eingeführt.

Es ergibt sich daraus unter anderem damit der Seiten-Kosinussatz zu:

{\rm sem}(a)={\rm sem}(b-c)+\sin(b) \cdot \sin(c) \cdot {\rm sem}(\alpha)

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Versine. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Haversine. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Coversine. In: MathWorld (englisch).
  4. Schenk, Bobby: Astronavigation – ohne Formeln – praxisnah. Verlag Delius Klasing & Co, Bielefeld 1978.
  5. Fulst, Otto: Nautische Tafeln. Geist, Bremen 1972.