Sinus versus und Kosinus versus

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Veranschaulichung am Einheitskreis: Der Sinus versus CD bildet zusammen mit dem Kosinus einen Radius.

Sinus versus (auch Versinus oder Versus, in Formeln abgekürzt \operatorname{versin}) und der Kosinus versus (auch Koversinus, in Formeln abgekürzt \operatorname{coversin}) sind in der Trigonometrie heute selten verwendete trigonometrische Funktionen. Semiversus (englisch Haversine, in Formeln abgekürzt \operatorname{sem}) ist der halbe Sinus versus.

Sinus versus[Bearbeiten]

Versinusfunktion

Definition[Bearbeiten]

Der Sinus Versus wird mit Hilfe der Sinus- oder Kosinusfunktion definiert als[1]

\operatorname{versin}(\theta)=1-\cos(\theta)=2\sin^2\left(\frac\theta2\right).

Der Sinus versus kann auf die ganze komplexe Zahlenebene ausgeweitet werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Ableitung des Sinus Versus ist der Sinus:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\operatorname{versin}(z)=\sin(z).

Die Stammfunktion ist gegeben durch

\int\operatorname{versin}(z)\mathrm dz=z-\sin(z)+C.

Kosinus versus[Bearbeiten]

Koversinusfunktion

Definition[Bearbeiten]

Der Kosinus versus ist der Sinus versus des Gegenarguments:[2]

\operatorname{coversin}(\theta)=\operatorname{versin}\left(\frac\pi2-\theta\right)=1-\sin(\theta).

Semiversus[Bearbeiten]

Semiversusfunktion

Definition[Bearbeiten]

Der Semiversus ist die Hälfte des Sinus versus:[3]

\operatorname{sem}(\theta)=\frac{\operatorname{versin}(\theta)}2=\sin^2\left(\frac\theta2\right)

Geschichte und Verwendung[Bearbeiten]

Der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie spielte für die nautische Navigation nach den Sternen in früherer Zeit eine wichtige Rolle[4]. Um die dabei erforderlichen Multiplikationen trigonometrischer Funktionen durch das Nachschlagen von Tabellenwerten[5] zu vereinfachen, wurde der Semiversus eingeführt.

Es ergibt sich daraus unter anderem damit der Seiten-Kosinussatz zu:

{\rm sem}(a)={\rm sem}(b-c)+\sin(b) \cdot \sin(c) \cdot {\rm sem}(\alpha)

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Versine. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Coversine. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Haversine. In: MathWorld (englisch).
  4. Schenk, Bobby: Astronavigation – ohne Formeln – praxisnah. Verlag Delius Klasing & Co, Bielefeld 1978.
  5. Fulst, Otto: Nautische Tafeln. Geist, Bremen 1972.