Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ im dreidimensionalen Anschauungsraum nach der Formel

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\, |\vec b|\,\cos\sphericalangle(\vec a, \vec b).$

Dabei bezeichnen $|\vec a|$ und $|\vec b|$ jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit $\cos \sphericalangle(\vec a, \vec b) = \cos \varphi$ wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels $\varphi$ bezeichnet.

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt

$\vec a \cdot \vec b = a_1 \, b_1 + a_2 \, b_2 + a_3 \, b_3.$

Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt ausrechnen und mit der obigen Formel dann den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

In der linearen Algebra wird dieses Konzept verallgemeinert. Ein Skalarprodukt ist dort eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Im euklidischen Raum

Geometrische Definition und Notation

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleichlang und gleichorientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b$ zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen $a = |\vec a|$ und $b = |\vec b|$ die Längen der Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ und bezeichnet $\varphi = \sphericalangle(\vec a, \vec b)$ den von $\vec a$ und $\vec b$ eingeschlossenen Winkel, so ist

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \, \cos \sphericalangle (\vec a, \vec b) = a\, b \, \cos \varphi.$

Wie bei der normalen Multiplikation, aber seltener als dort, wird das Multiplikationszeichen manchmal auch weggelassen, wenn klar ist, was gemeint ist:

$\vec a\cdot \vec b = \vec a\,\vec b$

Statt $\vec a \cdot \vec a$ schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch $\vec a\,^2.$

Andere übliche Notationen sind $\vec a \circ \vec b,\ \vec a \bullet \vec b$ und $\langle \vec a, \vec b \rangle.$

Veranschaulichung

Orthogonale Projektion $\scriptstyle \vec b_{\vec a}$ des Vektors $\scriptstyle \vec b$ auf die durch $\scriptstyle \vec a$ bestimmte Richtung

Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion $\vec b_{\vec a}$ des Vektors $\vec b$ auf die durch $\vec a$ bestimmte Richtung und setzt

$b_a = \begin{cases} |\vec b_{\vec a}| & \text{falls }\vec a,\vec b_{\vec a} \text{ gleichorientiert}\\ -|\vec b_{\vec a}| & \text{falls }\vec a, \vec b_{\vec a} \text{ entgegengesetzt orientiert} \end{cases}$

Es gilt dann $b_a = b \cos \varphi,$ und für das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ gilt:

$\vec a \cdot \vec b = a b_a$

Diese Beziehung wird manchmal auch zur Definition des Skalarprodukts verwendet.

Beispiele

In allen drei Beispielen gilt $| \vec a | = 5$ und $| \vec b | = 3.$

• 

  $\scriptstyle \vec a$ und $\scriptstyle \vec b$ gleichgerichtet
  $\scriptstyle \vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ = 15$

• 

  $\scriptstyle \vec a$ und $\scriptstyle \vec b$ im 60°-Winkel
  $\scriptstyle \vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 7{,}5$

• 

  $\scriptstyle \vec a$ und $\scriptstyle \vec b$ orthogonal
  $\scriptstyle \vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 3 \cdot \cos 90^\circ = 0$

In kartesischen Koordinaten

Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$    und   $\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

die Darstellung

$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2.$

Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene

Für die kanonischen Einheitsvektoren $\vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ gilt nämlich:

$\vec e_1 \cdot \vec e_1 =1,\ \vec e_1 \cdot \vec e_2 = \vec e_2 \cdot \vec e_1 =0$ und $\vec e_2 \cdot \vec e_2 =1$

Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes):

$\begin{align} \vec a \cdot \vec b &= (a_1 \, \vec e_1 + a_2 \, \vec e_2) \cdot (b_1 \, \vec e_1 + b_2 \, \vec e_2) \\ &= a_1b_1 \, \vec e_1 \cdot \vec e_1 + a_1b_2 \, \vec e_1 \cdot \vec e_2 + a_2 b_1 \,\vec e_2 \cdot \vec e_1 + a_2b_2 \, \vec e_2 \cdot \vec e_2 \\ &= a_1b_1 + a_2b_2 \end{align}$

Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix}$   und   $\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix}$

die Darstellung

$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$

Zum Beispiel berechnet sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$    und   $\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$

wie folgt:

$\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36$

Eigenschaften

Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:

• Sind $\vec a$ und $\vec b$ parallel und gleichorientiert ($\varphi = 0^\circ$), so gilt

  $\vec a \cdot \vec b = a b.$

• Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:

  $\vec a \cdot \vec a = a^2$

• Sind $\vec a$ und $\vec b$ parallel und entgegengesetzt orientiert ($\varphi = 180^\circ$), so gilt

  $\vec a \cdot \vec b = - a b.$

• Sind $\vec a$ und $\vec b$ orthogonal ($\varphi = 90^\circ$), so gilt

  $\vec a \cdot \vec b = 0.$

• Ist $\sphericalangle(\vec a, \vec b)$ ein spitzer Winkel, so gilt $\vec a \cdot \vec b > 0.$
• Ist $\sphericalangle(\vec a, \vec b)$ ein stumpfer Winkel, so gilt $\vec a \cdot \vec b < 0.$

Als Funktion, die jedem geordneten Paar $(\vec a, \vec b)$ von Vektoren die reelle Zahl $\vec a \cdot \vec b$ zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:

1. Es ist symmetrisch:

   $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$ für alle Vektoren $\vec a$ und $\vec b$

2. Es ist homogen in jedem Argument:

   $(r \vec a) \cdot \vec b = r\, (\vec a \cdot \vec b) = \vec a \cdot r \vec b$ für alle Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ und alle Skalare $r \in \R$

3. Es ist additiv in jedem Argument:

   $\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$ und

   $(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c$ für alle Vektoren $\vec a,$ $\vec b$ und $\vec c.$

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.

Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach der Assoziativität gar nicht. Im Ausdruck $(\vec a \cdot \vec b) \,\vec c$ ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors $\vec c.$ Hingegen stellt der Ausdruck $\vec a \, (\vec b \cdot \vec c)$ ein Vielfaches von $\vec a$ dar. Im Allgemeinen gilt also

$(\vec a \cdot \vec b) \,\vec c \ne \vec a \,(\vec b \cdot \vec c).$

Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus den natürlichen, geometriegemäßen Forderungen, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

Betrag von Vektoren und eingeschlossener Winkel

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung die Länge (den Betrag) eines Vektors zu berechnen:

Für Vektoren des zweidimensionalen Raumes gilt

$| \vec a | = \sqrt{\vec a\cdot \vec a} = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}.$

Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder. Im dreidimensionalen Raum gilt entsprechend

$| \vec a | = \sqrt{\vec a\cdot \vec a} = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.$

Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man aus den Koordinaten zweier Vektoren den von ihnen eingeschlossenen Winkel berechnen. Aus

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \, \cos \sphericalangle (\vec a, \vec b)$

folgt

$\cos \sphericalangle(\vec a,\vec b) = \frac{\vec a\cdot\vec b}{\left|\vec a\right|\,|\vec b|}.$

Die Längen der beiden Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$    und   $\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$

betragen also

$|\vec a| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} \approx 3{,}74,$

$|\vec b| = \sqrt{(-7)^2+8^2+9^2} = \sqrt{194} \approx 13{,}93.$

Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel berechnet sich zu

$\cos \sphericalangle(\vec a,\vec b) = \frac{36}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{194}} \approx 0{,}691.$

Somit ist $\sphericalangle(\vec a,\vec b) \approx 46{,}3^\circ.$

Orthogonalität und orthogonale Projektion

→ Hauptartikel: Orthogonalität und Orthogonalprojektion

Orthogonale Projektion $\scriptstyle \vec b_{\vec a}$ des Vektors $\scriptstyle \vec b$ auf die durch $\scriptstyle \vec a$ bestimmte Richtung

Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also

$\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0.$

Die orthogonale Projektion von $\vec b$ auf die durch den Vektor $\vec a$ gegebene Richtung ist der Vektor $\vec b_{\vec a} = k \vec a$ mit Komponente

$k = \frac{\vec b \cdot \vec a}{\vec a \cdot \vec a}= \frac{\vec b \cdot \vec a}{|\vec a|^2},$

also

$\vec b_\vec a = \frac{\vec b \cdot \vec a}{|\vec a|^2} \, \vec a = \left(\vec b \cdot \frac{\vec a}{|\vec a|} \right) \, \frac{\vec a}{|\vec a|}.$

Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von $\vec b$ auf die durch $\vec a$ bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor $\vec b - \vec b_{\vec a}$ steht senkrecht auf $\vec a.$

Ist $\vec a$ ein Einheitsvektor (d. h. ist $|\vec a| = 1$), so vereinfacht sich die Formel zu

$\vec b_{\vec a} = (\vec b \cdot \vec a) \,\vec a.$

Bezug zum Kreuzprodukt

Eine andere Art und Weise, zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ multiplikativ miteinander zu verknüpfen, ist das äußere Produkt oder Kreuzprodukt $\vec a \times \vec b.$ Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Resultat des Kreuzprodukts kein Skalar, sondern wieder ein Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Faktoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Ebene und seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen aufgespannt wird.

Für die Verbindung von Kreuz- und Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:

• $( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec c = \vec a \cdot ( \vec b \times \vec c )$
• $( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec c = - ( \vec b \times \vec a ) \cdot \vec c$
• $( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec a = ( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec b = 0$
• $( \vec a \times \vec b ) \cdot ( \vec a \times \vec b ) = ( \vec a \cdot \vec a ) ( \vec b \cdot \vec b ) - ( \vec a \cdot \vec b )^2$

Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch Spatprodukt; es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren $\vec a, \vec b, \vec c$ aufgespannten Parallelepipeds.

Anwendungen

In der Geometrie

Kosinussatz mit Vektoren

Das Skalarprodukt ermöglicht es, komplizierte Sätze, bei denen von Winkeln die Rede ist, einfach zu beweisen.

Behauptung: (Kosinussatz)

$c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\gamma.$

Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt $\vec c = - \vec b + \vec a.$ (Die Richtung von $\vec c$ ist unerheblich.) Quadrieren ergibt

$\vec c\,^2 = \vec a\,^2 + \vec b\,^2 - 2\,\vec a \cdot \vec b$

und damit

$c^2 = a^2 + b^2 - 2\,a\,b \,\cos \gamma.$

In der Physik

Beispiel schiefe Ebene

In der Physik sind viele Größen, wie zum Beispiel die Arbeit $W$, durch Skalarprodukte definiert:

$W=\vec F \cdot \vec s = |\vec F| |\vec s| \cos \varphi = F_s \cdot s = F \cdot h$

mit den vektoriellen Größen Kraft $\vec F$ und Weg $\vec s$. Dabei bezeichnet $\varphi$ den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit $F_s$ wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit $h$ die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.

Beispiel: Ein Wagen des Gewichts $F$ wird über eine schiefe Ebene von $A$ nach $B$ transportiert. Die Hubarbeit $W$ berechnet sich zu

$\begin{align} W &= \vec F \cdot \vec s = F \cdot h = F \cdot s \cdot \cos \varphi \\ &= 5\,\mathrm N \cdot 3\,\mathrm m \cdot \cos 63^\circ = 6{,}81 \,\mathrm J. \end{align}$

In allgemeinen Vektorräumen

Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet.

Definition (Axiomatik)

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R,$ das heißt für $x,y,z\in V$ und $\lambda\in\R$ gelten die folgenden Bedingungen:

1. bilinear:
   • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
   • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
   • $\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
2. symmetrisch: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$
3. positiv definit: $\langle x,x\rangle\geq0,$ und $\langle x,x\rangle=0$ genau dann, wenn $x=0$

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum $V$ ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb C,$ das heißt für $x,y,z\in V$ und $\lambda\in\mathbb C$ gelten die folgenden Bedingungen:

1. sesquilinear:
   • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
   • $\langle \lambda x, y\rangle= \bar\lambda\langle x,y\rangle$    (semilinear im ersten Argument)
   • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
   • $\langle x, \lambda y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle$    (linear im zweiten Argument)
2. hermitesch: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
3. positiv definit: $\langle x,x\rangle\geq0$, und $\langle x,x\rangle=0$ genau dann, wenn $x=0$. (Dass $\langle x,x\rangle$ reell ist, folgt aus Bedingung 2.)

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch euklidischer Vektorraum genannt, im komplexen Fall spricht man von einem unitären Vektorraum. Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als euklidisches Skalarprodukt, das in einem unitären Vektorraum als unitäres Skalarprodukt bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene Standardskalarprodukt im $\R^n$ benutzt.

Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, wird als Hilbertraum bezeichnet.

Anmerkungen

• Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
• Im komplexen Fall wird das Skalarprodukt oft alternativ, nämlich als linear im ersten und semilinear im zweiten Argument definiert. Diese Version tritt bevorzugt in der Mathematik und insbesondere in der Analysis auf, während in der Physik durchgängig die obige Version benutzt wird (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Der Unterschied beider Versionen liegt in den Auswirkungen der Skalarmultiplikation hinsichtlich der Homogenität. Nach der Alternativversion gilt für $x,y\in V$ und $\lambda\in\mathbb C$   $\langle \lambda x, y\rangle= \lambda \langle x,y \rangle$   und $\langle x, \lambda y \rangle= \bar\lambda\langle x,y\rangle$ . Die Additivität wird in beiden Versionen gleich verstanden. Ebenso sind die nach beiden Versionen aus dem Skalarprodukt gewonnenen Normen identisch.

Beispiele

Standardskalarprodukt im Rⁿ und im Cⁿ

→ Hauptartikel: Standardskalarprodukt

Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im $n$-dimensionalen Koordinatenraum $\R^n$ für $x, y\in \R^n$ durch

$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1{y_1}+ x_2 {y_2}+\dotsb + x_n{y_n}.$

Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall $n=3.$ Im Fall des $n$-dimensionalen komplexen Vektorraums $\C^n$ definiert man das Standardskalarprodukt für $x, y\in \mathbb C^n$ durch

$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \bar x_i y_i = \bar x_1{y_1}+\bar x_2 {y_2}+\dotsb + \bar x_n{y_n},$

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.

Das Standardskalarprodukt im $\R^n$ bzw. $\C^n$ lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als $n \times 1$-Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt

$\langle x, y\rangle = x^Ty = y^Tx,$

wobei ${x}^T$ der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor $x$ durch Transponieren hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)

$\langle x, y\rangle = x^{H}y,$

wobei $x^H$ der zu $x$ hermitesch adjungierte Zeilenvektor ist.

Allgemeine Skalarprodukte im Rⁿ und im Cⁿ

Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix $A$ über

$\langle x, y\rangle_A = x^T A y = \langle x, Ay \rangle$

ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix $A$ über

$\langle x, y\rangle_A = x^H A y = \langle x, Ay \rangle$

ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index A auf der linken Seite das durch die Matrix $A$ definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf $\R^n$ bzw. $\C^n$ lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

L²-Skalarprodukt für Funktionen

→ Hauptartikel: L²-Skalarprodukt

Auf dem unendlich-dimensionalen Vektorraum $C^0([a,b],\R)$ der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist das $L^2$-Skalarprodukt durch

$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \, \mathrm dx$

für alle $f, g \in C^0([a,b],\R)$ definiert.

Für Verallgemeinerungen dieses Beispiels siehe Prähilbertraum und Hilbertraum.

Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt für Matrizen

Auf dem Vektorraum $\R^{n \times m}$ der reellen $n\times m$-Matrizen wird durch

$\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}(A^T B) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m a_{ij} \, b_{ij} , \quad A,B \in \R^{n \times m},$

ein Skalarprodukt definiert, das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt genannt wird. Die dazugehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

Entsprechend wird auf dem Vektorraum $\C^{n \times m}$ der komplexen $n\times m$-Matrizen ein Skalarprodukt durch

$\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}(A^H B) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \bar a_{ij}\, b_{ij}, \quad A,B \in \C^{n \times m}$

definiert.

Norm, Winkel und Orthogonalität

Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Skalarprodukträumen die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Man definiert diese Norm, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:

$\| x \| = \sqrt{\langle x, x\rangle}$

Dies ist möglich, da $\langle x, x\rangle$ aufgrund der positiven Definitheit nicht negativ ist. Die als Normaxiom geforderte Dreiecksungleichung folgt dabei aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

$\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.$

Sind $x,y\neq 0,$ so kann diese Ungleichung zu

$\left|\frac{\langle x,y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y\rangle}}\right|\leq 1$

umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels

$\varphi =\arccos\frac{\langle x,y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y\rangle}}$

der Winkel $\varphi$ zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und $\pi.$ Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:

$x \perp y \Longleftrightarrow \langle x, y \rangle = 0$

Matrixdarstellung

Ist $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum und $B = (b_1, \dots, b_n)$ eine Basis von $V,$ so kann jedes Skalarprodukt $\langle {\cdot}, {\cdot}\rangle$ auf $V$ durch eine ($n \times n$)-Matrix $G,$ die Gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

$G = (g_{ij})_{i, j = 1,\dots, n}$   mit   $g_{ij} = \langle b_i, b_j \rangle$   für $i, j = 1, \dots, n$

Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen: Haben die Vektoren $x, y \in V$ bezüglich der Basis $B$ die Darstellung

$x = \sum_{i = 1}^n x_i \, b_i$   und   $y = \sum_{j = 1}^n y_j \, b_j,$

so gilt im reellen Fall

$\langle x,y \rangle = \left\langle \sum\limits_{i = 1}^n x_i \, b_i, \sum\limits_{j = 1}^n y_j \, b_j \right\rangle = \sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^n x_i \, y_j\, \langle b_i, b_j \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i\, y_j\, g_{ij}.$

Bezeichnet man mit $x_B, y_B \in \R^n$ die Koordinatenvektoren

$x_B = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}$  und  $y_B = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix},$

so gilt also

$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i\, g_{ij} \, y_j = \begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^T G y_B,$

wobei das Matrixprodukt eine $(1\times 1)$-Matrix liefert, also eine reelle Zahl. Mit $x_B{}^T$ wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor $x_B$ entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n \overline x_i\, g_{ij} \, y_j = \begin{pmatrix} \overline x_1 & \dots & \overline x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^H G y_B,$

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und $x_B{}^H$ der zu $x_B$ adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist $B$ eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt $\langle b_i, b_i \rangle = 1$ für alle $i$ und $\langle b_i, b_j \rangle = 0$ für alle $i \ne j,$ so ist $G$ die Einheitsmatrix, und es gilt

$\langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i \, y_i = x_B{}^T \, y_B$

im reellen Fall bzw.

$\langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n \overline x_i \, y_i = x_B{}^H \, y_B$

im komplexen Fall. Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von $\,x$ und $y \in V$ also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren $\,x_B$ und $y_B \in \R^n$ bzw. $\C^n.$

Siehe auch

• Quaternion
• Semi-inneres Produkt
• Duale Paarung

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15. Auflage. Vieweg Verlag, ISBN 3528032170.
•  Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6.

Weblinks

 Commons: Skalarprodukt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Website zur Berechnung des Skalarprodukts und des Winkel zwischen zwei Vektoren
• Informationen und Materialien zum Skalarprodukt für die gymnasiale Oberstufe, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Einführung in das Skalarprodukt von Joachim Mohr