Skalenfreies Netz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Skalenfreie oder skaleninvariante Netzwerke oder Netze sind komplexe Netzwerke, deren Anzahl von Verbindungen pro Knoten nach einem Potenzgesetz verteilt sind. Potenzgesetze sind skaleninvariant bzgl. Streckung oder Stauchung des Maßstabes der Variablen.

Zufalls- vs. skalenfreies Netz

Die Verteilung von Knoten und die Anzahl k von Verbindungen folgt einem Potenzgesetz

P(k) \propto k^{-\gamma},

wobei \gamma eine einheitslose Zahl ist.

Eine Umskalierung k\rightarrow ak mit einem beliebigen Faktor a führt zu einem proportionalen Potenzgesetz P(ak)\propto a^{-\gamma}k^{-\gamma}\propto k^{-\gamma}.

Allgemeines[Bearbeiten]

Skalenfreie Netzwerke werden in der Theorie der komplexen Netzwerke untersucht und gelten als relativ ausfallsicher. Die Robustheit solcher Netzwerke besteht allerdings nur bei zufälligen Ausfällen von Knoten. Durch strategisches Vorgehen beim Ausschalten einzelner Knoten (nämlich derjenigen mit hohem Verlinkungsgrad) kann ein skalenfreies Netzwerk schnell in kleine Einzelnetzwerke zerfallen.

Animation: Die Wachstumsstufen nach dem skalenfreien Barabasi–Albert-Modell

Beispiele für skalenfreie und partiell-skalenfreie Netzwerke sind:

Viele Kleine-Welt-Netzwerke sind auch skalenfrei bzw. umgekehrt, wobei zu beachten ist, dass normale Zufallsgraphen nicht skalenfrei sind (Erdős-Rényi- im Gegensatz zu Barabási-Albert-Netzen).

Barabási und Albert schlugen ein vielbeachtetes Modell zur Erzeugung skalenfreier Netzwerke vor. Dabei wird mit einer kleinen Anzahl m_0 von Knoten begonnen und in jedem Schritt ein weiterer Knoten hinzugefügt. Der neue Knoten wird jeweils mit m bereits vorhandenen Knoten verbunden, wobei die Verbindungs-Wahrscheinlichkeit proportional zur Anzahl von Kanten ist, die ein Knoten bereits besitzt. Dieses Prinzip wird auch als preferential attachment bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dass in diesem Modell \gamma gegen den Wert 3 strebt.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Viele Netzwerkwahrscheinlichkeiten, z. B. finanzielle Verteilungen, bestehen aus nicht-Gauß'schen Verteilungen mit skalenfreien Ausläuferbereichen (sog. „fat tails“), die das erhöhte Risiko für extreme Gewinne bzw. Verluste quantifizieren.[1] Bei Gaußverteilungen, mit denen die üblichen Standardbeispiele für Zufallsprozesse formuliert werden, fallen diese extremen Risikobereiche automatisch weg.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R.N. Mantegna, H.E. Stanley: An Introduction to Econophysics. Correlations and Complexity in Finance. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999, ISBN 978-0521039871 (Zugriff am 8. Januar 2014).

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]