Smith-Diagramm

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Zum in der Werkstoffkunde bekannten Smith-Diagramm siehe Dauerfestigkeits Abschnitt Smith-Diagramm.

Das Smith-Diagramm (englisch Smith Chart) ist ein Hilfsmittel der komplexen Wechselstromrechnung, mit dem Berechnungen komplexer Widerstände (Impedanzen) auf eine geometrische Konstruktion zurückgeführt werden können. Es wurde erstmals im Jahre 1939 von Phillip Smith vorgestellt.[1][2]

Smith-Diagramm

Das Smith-Diagramm wird ebenfalls in der Leitungstheorie zur Impedanzanpassung verwendet. Das dort verwendete Smith-Diagramm unterscheidet sich lediglich durch die Interpretation der Achsen bzw. die Achsenbeschriftung von dem hier gezeigten.

Aufbau[Bearbeiten]

Das Diagramm ist kreisförmig und mit einem komplexen Koordinatensystem versehen. Es beruht auf der konformen Abbildung

w(z) = \frac{z-1}{z+1}

der komplexen Ebene auf sich selbst. Sie ergibt sich aus der Definition des Reflexionsfaktors r.

Bei dieser Abbildung wird die rechte Halbebene auf das Innere des Einheitskreises abgebildet. Die linke Halbebene ist dabei ohne Bedeutung, da sie negativen ohmschen Widerständen entspricht, welche bei passiven Bauteilen nicht auftreten.

In der Mathematik ist diese Transformation einer Ebene in eine andere auch als Möbiustransformation bekannt. Sie gehorcht der allgemeinen Form

f(z) = \frac{az + b}{cz + d}
Abbildung der Gauß-Ebene ins Smith-Diagramm

Die Abbildung besitzt die besondere Eigenschaft, dass das Bild einer Zahl z (z. B. z = 2 + j) und ihres Kehrwertes (z. B. 1/z = 1/(2 + j) = 0{,}4 - 0{,}2 j) punktsymmetrisch zum Kreismittelpunkt liegen. (In der Elektrotechnik wird für die imaginäre Einheit das Symbol j verwendet)

Das Smith-Diagramm kann somit sowohl als Impedanz- als auch Admittanz-Diagramm benutzt werden.

Bei der Berechnung einer Parallelschaltung ergibt sich der Kehrwert der Gesamtimpedanz als Summe der Kehrwerte der Teilimpedanzen. Diese Kehrwertbildung wird im Smith-Diagramm also geometrisch durch eine Spiegelung am Mittelpunkt ersetzt. Im Smith-Diagramm wird immer mit normierten Größen gearbeitet. Daraus ergibt sich der Vorteil, dass man unabhängig von Größen wie der tatsächlichen Frequenz, Wellenlänge oder Impedanz ist.

In der Leitungstheorie, z. B. bei Impedanzanpassungsproblemen, lassen sich Reflexionsfaktor und Stehwellenverhältnis (SWR) einfach aus dem Smith-Diagramm ohne komplexe Rechnung bestimmen. Dazu misst man die Länge der Verbindungslinie zwischen dem Ursprung und dem Schnittpunkt der beiden Kreise der normierten Impedanz. Die Phase des Reflexionsfaktors kann auf der Verlängerung der Linie auf der äußeren Skala des Smith-Diagramms abgelesen werden. Das SWR lässt sich indirekt über den Reflexionsfaktor bestimmen, kann jedoch auch direkt aus dem Smith-Diagramm abgelesen werden – als Schnittpunkt der reellen Achse rechts vom Kreismittelpunkt mit dem Kreis, der durch den Betrag des Reflexionsfaktors gegeben ist.

Möchte man nun den Reflexionsfaktor an einer beliebigen Stelle auf einer Leitung berechnen, so entspricht das einer Drehung des Reflexionsfaktors um die normierte Leitungslänge am Leitungsende auf dem Reflexionsfaktor-Kreis entweder hin zum Generator, also im Uhrzeigersinn, oder hin zur Last, also im Gegenuhrzeigersinn.

Das Smith-Diagramm bildet in der oberen Hälfte induktive und in der unteren Hälfte kapazitive Impedanzwerte ab.

3D Smith-Diagramm[Bearbeiten]

Es gibt auch verallgemeinerte dreidimensionale Smith-Diagramme, die aktive und passive Netzwerke gemeinsam auf die Riemannsche Zahlenkugel projizieren.[3]

Arbeiten mit dem Smith-Diagramm[Bearbeiten]

  • Normierung: Alle Elemente werden normiert, d. h. Impedanzen werden durch ihre charakteristische Impedanz Z_0 dividiert, Admittanzen mit Z_0 multipliziert und anschließend in das Smith-Diagramm eingetragen.
  • In Serie geschaltete Impedanzen können direkt addiert werden.
  • Parallel geschaltete Impedanzen müssen zuerst auf Admittanz-Form gebracht werden, d. h. um den Mittelpunkt gespiegelt werden. Alternativ können zwei Smith-Diagramme übereinander verwendet werden, wobei ein Smith-Diagramm um 180° gedreht ist. Damit können Spiegelungen um den Mittelpunkt als Übergang von einem Diagramm auf das andere realisiert werden.
  • Stichleitung: Die Stichleitung ist in eine Ersatzimpedanz umzurechnen und je nach Anordnung wie eine serielle oder parallele Impedanz zu addieren.
  • Bewegung auf der Leitung: Impedanz-Diagramm oder Admittanz-Diagramm, um die entsprechende Leitungslänge zum Generator (im Uhrzeigersinn) oder zur Last (im Gegenuhrzeigersinn) drehen.
  • SWR: Das SWR erhält man, indem man den Punkt am gesuchten Ort im Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt auf die reelle Achse dreht und den entsprechenden Wert abliest.
  • Kurzschluss: der Punkt ganz links im Impedanz-Diagramm, bzw. ganz rechts im Admittanz-Diagramm
  • Leerlauf: der Punkt ganz rechts im Impedanz-Diagramm, bzw. ganz links im Admittanz-Diagramm

Smith-Diagramme auf Papier zur grafischen Ermittlung werden primär im Bereich der Ausbildung und Lehre und zur Dokumentation verwendet. In der praktischen Anwendung kommen Smith-Diagramme üblicherweise im Rahmen entsprechender Programme vor. Auch komplexe Messgeräte wie Netzwerkanalysatoren können gemessene Daten meist in Form von Smith-Diagrammen direkt anzeigen.

Der ursprüngliche Vorteil und die Intention zur Vereinfachung der komplexen Berechnungen in Form der grafischen Ermittlung der numerischen Werte ist durch die breite Verfügbarkeit von leistungsfähigen Taschenrechnern und Computern mit entsprechenden Softwarepaketen weggefallen. Geblieben ist als primäre Anwendung die grafische Repräsentation von Impedanzverläufen in technischen Dokumenten und Datenblättern.

Beispiel[Bearbeiten]

Ein ohmscher Widerstand R = 150 Ω und ein Kondensator C = 10 μF sind in Reihe geschaltet, parallel dazu liegt eine Spule L = 0,5 H. Die Schaltung ist an einen Generator angeschlossen, dessen Frequenz f = 79,6 Hz beträgt.

Die Kreisfrequenz ist dann ω = 2πf = 500 s-1.

Für den komplexen Widerstand (die Impedanz) des Kondensators folgt

X_{\mathrm{C}} = \frac{1}{\mathrm{j} \omega C} = - \mathrm{j} \frac{1}{\omega C} = - 200 \mathrm{j}\ \Omega,

für die Impedanz der Spule errechnet man

X_{\mathrm{L}} = \mathrm{j} \omega L = 250 \mathrm{j}\ \Omega.

Bei der Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator werden die Werte einfach addiert und ergeben

X_1 = 150\ \Omega - 200 \mathrm{j}\ \Omega.

Um die Werte ins Smith-Diagramm eintragen zu können, in dem sich große Zahlen nicht mehr darstellen lassen, normiert man mit einem geeigneten Bezugswiderstand, z. B. Z0 = 100 Ω, indem man alle Werte durch ihn dividiert. Dann wird

X_1 = 1{,}5 - 2 \mathrm{j} (Widerstand und Kondensator)

und

X_2 = 2{,}5 \mathrm{j} (Spule).

Eintragen der komplexen Widerstände

Diese beiden Impedanzen sind parallel geschaltet. Für die Gesamtimpedanz X ist also

\frac{1}{X} = \frac{1}{X_1} + \frac{1}{X_2}.

Diese Kehrwerte werden im Smith-Diagramm durch Spiegelung am Kreismittelpunkt gewonnen.

Spiegelung auf die Admittanzebene

Sie betragen

\frac{1}{X_1} = 0{,}24 + 0{,}32 \mathrm{j} \quad \text{und} \quad \frac{1}{X_2} = - 0{,}4 \mathrm{j} .

Die Addition der beiden Kehrwerte erfolgt rechnerisch oder im Smith-Diagramm durch „Abzählen“ am Koordinatengitter.

Grafische Addition der Ergebnisse

Man erhält

\frac{1}{X} = 0{,}24 - 0{,}08 \mathrm{j}

Um die Gesamtimpedanz X zu bestimmen, ist davon wieder der Kehrwert zu bilden. Man spiegelt also den soeben erhaltenen Punkt am Kreismittelpunkt wider.

Spiegelung auf Impedanzebene

Als Ergebnis findet man

X = 3{,}75 + 1{,}25 \mathrm{j}.

Da man zuvor durch 100 Ω dividiert hat, muss man nun wieder damit multiplizieren. Endgültig beträgt die Impedanz der Gesamtschaltung somit

X = 375\,\mathrm{\Omega} + 125\mathrm{j}\,\mathrm{\Omega}.

Sie kann daher ersatzweise durch eine Reihenschaltung aus einem Widerstand von 375 Ω und einer Spule von 125j Ω dargestellt werden (bei ω = 500 s-1 entspricht das einer Induktivität von 0,25 H).

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Chris Bowik, John Blyer, Cheryl Ajluni: RF Circuit Design. 2. Auflage. Newnes, 2008, ISBN 978-0-7506-8518-4.
  •  Joachim Müller: Smithdiagramm, Einführung und Praxisleitfaden. beam-Verlag Marburg, 2009, ISBN 978-3-88976-155-2.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Smith charts – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. P. H. Smith: Transmission Line Calculator, Electronics, Vol. 12, No. 1, pp 29-31, January 1939
  2. P. H. Smith: An Improved Transmission Line Calculator, Electronics, Vol. 17, No. 1, p 130, January 1944
  3. Andrei Muller, Pablo Soto, D. Dascalu, D. Neculoiu, V. E. Boria A 3D Smith chart based on the Riemann sphere for Active and Passive Microwave Circuits", Microwave and Wireless Components Letters Online