Sorgenfrey-Gerade

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Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition[Bearbeiten]

Die Sorgenfrey-Gerade R ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge \R von allen halboffenen Intervallen [a,b) als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle [a,b) darstellbaren Mengen.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Ersetzt man die halboffenen Intervalle [a,b) durch (a,b], so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum,  x\mapsto -x ist offenbar ein Homöomorphismus.

Beispiele offener Mengen[Bearbeiten]

Alle Mengen der Form

(-\infty,a) = \bigcup_{n=0}^\infty[a-n,a)

[a,\infty) = \bigcup_{n=0}^\infty[a,a+n)

sind offen. Daher sind die Mengen [a,b) nicht nur offen, sondern wegen [a,b) = \R\setminus((-\infty,a)\cup[b,\infty)) auch abgeschlossen, das heißt R besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall (a,b) ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

(a,b) =  \bigcup_{n=1}^\infty[a+\frac{1}{n},b).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Sorgenfrey-Gerade R hat folgende Eigenschaften:

Quellen[Bearbeiten]