Sparkassenformel

Als Sparkassenformeln werden in der Finanzmathematik Differenzengleichungen bezeichnet, die einen Zusammenhang zwischen dem Anfangskapital und dem Endkapital nach einer bestimmten Anzahl Perioden in Jahren, einer Rate und einem Zins (jeweils pro Periode) herstellen. Es handelt sich um eine Kombination aus der Endwertberechnung für Zinseszinsen und der Rentenrechnung.

Wird das Endkapital $K_n$ bei einem Anfangskapital $K_0$, einem Zinssatz $i$ (mit Zinsfaktor $q = 1 + i$), einer Laufzeit $n$ in Jahren und einer jährlichen Rate $R$ gesucht, dann ergeben sich folgende Formeln für die

• nachschüssige Rate (Zahlung der Rate am 31. Dezember eines jeden Jahres):

$K_n=K_0 \cdot q^n \pm R \cdot \frac{q^n-1}{q-1}$

• vorschüssige Rate (Zahlung der Rate am 1. Januar eines jeden Jahres):

$K_n=K_0 \cdot q^n \pm\ R \cdot q \cdot \frac{q^n-1}{q-1}$

In beiden Fällen steht das Anfangskapital $K_0$ am 1. Januar des ersten Jahres zur Verzinsung bereit.

Der Zinsfaktor $q=1+i$ für beispielsweise $i=4 %$ oder $i=0,04$ beträgt $q=1,04$.

Bei Addition der Rate wird Kapital aufgebaut und bei der Subtraktion wird Kapital abgebaut. Die Formel gilt auch für Kredite mit konstanten Raten, wobei das Anfangskapital $K_0$ dann negativ ist.