Spezielle lineare Gruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung von Symmetrien. Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper K (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring), SL(n, K), ist die Gruppe aller n\times n Matrizen mit Koeffizienten aus K, deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt.[1] Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge \mathbb{R} der reellen oder \mathbb{C} der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch SL(n).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die spezielle lineare Gruppe SL(n, K) ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe GL(n, K).

Die Faktorgruppe GL(n, K)/SL(n, K) ist isomorph zu K^*, der Einheitengruppe von K (für einen Körper K ist K^* gleich K ohne die 0). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der SL(n, K) sind für K = \R die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) und für K = \C die spezielle unitäre Gruppe SU(n).

Die spezielle lineare Gruppe SL(n, K) über dem Körper K = \mathbb{R} oder K = \mathbb{C} ist eine Lie-Gruppe über K der Dimension n^2-1.

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe SL(n, K) beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Determinant. In: MathWorld (englisch).