Spezielle unitäre Gruppe

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Die spezielle unitäre Gruppe SU(n) besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der Dimension n^2-1, insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe U(n) sowie der speziellen linearen Gruppe SL(n,\mathbb{C}).

Lie-Algebra[Bearbeiten]

Die zu SU(n) korrespondierende Lie-Algebra \mathfrak{su}(n) entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

f\colon \mathfrak{su}(n) \to SU(n),\quad\quad g\mapsto\exp{g}

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum[Bearbeiten]

Das Zentrum von SU(n) besteht aus allen Vielfachen \xi E_n der Einheitsmatrix E_n, die in SU(n) liegen. Da \det(\xi E_n) = \xi^n = 1, müssen diese Vielfachen n-te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe \Z/n\Z.

Bedeutung in der Physik[Bearbeiten]

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere SU(n)-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch SU(3)\times SU(2) \times U(1) gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, „color, flavor, and electrical charge“). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige SU(3)-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu SU(2) \times SU(2).

Die Gruppe SU(2) ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe SO(3) im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3)[Bearbeiten]

Die SU(2), die Gruppe der „komplexen Drehungen“ des zweidimensionalen komplexen Raumes \mathbb C^2, mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen \sigma_i erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes \mathbb R^3, die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit \mathrm i:

SU(2) = \left\{\left.\exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma\right) \right| \vec\alpha \in \R^3 \right\} mit reellen Vektorkomponenten \,\alpha_1,\, \alpha_2 und \,\alpha_3, den „Drehwinkeln“  (\,\alpha_3 durchläuft beispielsweise das Intervall [-2\pi,+2\pi ] ), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2×2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor \vec \sigma  (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!) [1] Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, \vec \alpha\cdot\vec \sigma =\alpha_1\sigma_1+\alpha_2\sigma_2+\alpha_3\sigma_3\,. Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u. a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um 2\pi (=360^\circ), sondern erst bei dem doppelten  Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man {\vec\sigma}/2 durch den Ortsdrehimpuls-Operator \vec{\mathcal L} ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z. B. \mathcal L_3= \tfrac{\partial }{\mathrm i\,\partial\varphi}). Dabei wurde \hbar, die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und \varphi ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 o aus, um eine gewöhnliche Funktion - statt eines Spinors - zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im \mathbb R^4, die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4)=SU(2) × SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Literatur[Bearbeiten]

Lehrbücher[Bearbeiten]

Artikel[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Kommentare[Bearbeiten]

  1. Dass nicht \vec\sigma, sondern \vec\sigma /2 der Spindrehimpuls-Operator ist, ergibt sich u. a. aus der zugehörigen Lie-Algebra, der Drehimpulsalgebra.