Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe $SU(n)$ besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der Dimension $n^2-1,$ insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe $U(n)$ sowie der speziellen linearen Gruppe $SL(n,\mathbb{C})$.

Lie-Algebra

Die zu $SU(n)$ korrespondierende Lie-Algebra $\mathfrak{su}(n)$ entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

$f\colon \mathfrak{su}(n) \to SU(n),\quad\quad g\mapsto\exp{g}$

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von $SU(n)$ besteht aus allen Vielfachen $\xi E_n$ der Einheitsmatrix $E_n$, die in $SU(n)$ liegen. Da $\det(\xi E_n) = \xi^n = 1$, müssen diese Vielfachen $n$-te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe $\Z/n\Z$.

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere $SU(n)$-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch $SU(3)\times SU(2) \times U(1)$ gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, „color, flavor, and electrical charge“). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige $SU(3)$-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu $SU(2) \times SU(2)$.

Die Gruppe $SU(2)$ ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe $SO(3)$ im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3)

Die SU(2), die Gruppe der "komplexen Drehungen" des zweidimensionalen komplexen Raumes $\mathbb C^2$, mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen $\sigma_i$ erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes $\mathbb R^3$, die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit $\mathrm i$:

$SU(2) = \left\{\left.\exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma\right) \right| \vec\alpha \in \R^3 \right\}$ mit reellen Vektorkomponenten $\,\alpha_1,\, \alpha_2$ und $\,\alpha_3$, den „Drehwinkeln“  ($\,\alpha_3$ durchläuft beispielsweise das Intervall $[-2\pi,+2\pi ]$ ), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2x2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor $\vec \sigma$  (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!)  Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, $\vec \alpha\cdot\vec \sigma =\alpha_1\sigma_1+\alpha_2\sigma_2+\alpha_3\sigma_3\,.$ Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u.a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um 2π  (=360 ^o), sondern erst bei dem doppelten  Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man ${\vec\sigma}/2$ durch den Ortsdrehimpuls-Operator $\vec{\mathcal L}$ ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z. B. $\mathcal L_3= \frac{\partial }{\mathrm i\,\partial\varphi}$). Dabei wurde $\hbar$, die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und $\varphi$ ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 ^o aus, um eine gewöhnliche Funktion - statt eines Spinors - zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im $\mathbb R^4$, die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4)=SU(2) x SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Literatur

Lehrbücher

• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3528064323
• Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras, Springer, 2002, ISBN 3540426507
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups, Springer, 1995, ISBN 3540136789
• Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N), Birkhäuser, 2003, ISBN 376432418X

Artikel

• Jonathan L. Rosner: An Introduction to Standard Model Physics, TASI 1987, Scanned version from KEK
• Erhard Scholz: Introducing Groups into Quantum Theory (1926–1930), math.HO/0409571

Weblinks

• Definition bei mathworld.wolfram.com (englisch)