Spiegelungsmatrix

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Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g in der Ebene mit dem Neigungswinkel \alpha. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden[Bearbeiten]

Die Matrix einer Spiegelung S_g an einer Ursprungsgeraden ist:

S_g =
\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden[Bearbeiten]

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors \vec v an einer beliebigen Geraden g = \vec a + r \cdot \vec u mit Neigungswinkel \alpha darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

  1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g^* = r \cdot \vec u zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von g um -\vec a erreicht: \vec v' = \vec v - \vec a. Der Vektor \vec v' wird nun an g^* gespiegelt:
    \vec q' = S_g(\vec v') = S_g(\vec v - \vec a) = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot (\vec v - \vec a)
  2. Verschiebung von \vec q' um den Stützvektor \vec a der Ausgangsgeraden g
    \vec q = \vec q' + \vec a = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \cdot (\vec v - \vec a) + \vec a

Allgemeinere Spiegelungen[Bearbeiten]

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante -1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.