Statische Bestimmtheit

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Die Statische Bestimmtheit ist eine Kennzahl für statische Systeme (Körper, Tragwerke, Fachwerke) und beschreibt, wie viele Lagerkräfte den möglichen Bewegungsrichtungen eines Systems gegenüberstehen. Statisch bestimmte Systeme sind einfach zu behandeln und können allein mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Das gilt sowohl für die Auflagerkräfte als auch für alle Schnittgrößen an beliebigen Teilsystemen.

Definitionen[Bearbeiten]

  • Ein System ist statisch bestimmt, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen („Auflagerbedingungen“) gleich der Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen („Freiheitsgrade“) ist und jeder Bewegungsrichtung nur eine Lagerreaktion entgegenwirkt.[1]
  • Ein System ist statisch unbestimmt, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen die Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen übersteigt. Mindestens einer Bewegungsrichtung wirken mehr als eine Lagerreaktion entgegen.[1] Die Berechnung solcher Systeme erfolgt mit Verfahren, die über die grundlegend geltenden Gleichgewichtsbedingungen hinausgehen.
  • Ein System ist kinematisch oder statisch unterbestimmt, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen kleiner ist als die Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen. Mindestens einer Bewegungsrichtung wirkt keine Lagerreaktion entgegen und das System kann sich frei in diese Richtung verschieben oder verdrehen. Kinematische Systeme sind deshalb aus baustatischer Sicht unbrauchbar.[1]

Grad der statischen Unbestimmtheit[Bearbeiten]

Allgemeine Systeme[Bearbeiten]

Der Gerberträger ist ein statisch bestimmtes System: Es gibt k = 3 Körper; die Summe der Wertigkeiten aller Lager ist j = 5 und die Summe der Wertigkeiten der Verbindungen ist s = 4.

Um die statische Bestimmtheit eines Systems aus starren Körpern, die über Verbindungselemente miteinander verbunden sind, zu prüfen, kann eine notwendige Bedingung, auch als Abzählkriterium der statischen Bestimmtheit bekannt,[2][3] ausgewertet werden.

Hierzu sind die Wertigkeiten (also die jeweilige Anzahl der Lagerreaktionen) sämtlicher Verbindungselemente und der Auflager zu bestimmen und folgende Formel auszuwerten:

ebene Systeme: n = j+s-3k
räumliche Systeme: n = j+s-6k

Hierbei ist:

j : Summe aller Wertigkeiten der Lager
s : Summe aller Wertigkeiten der Verbindungen
k : Anzahl der freizuschneidenden starren Körper.

Jede Wertigkeit entspricht einer zu bestimmenden Größe (Kräfte oder Momente), während an jedem Körper die oben genannten drei Gleichgewichtsbedingungen (ebener Fall) formuliert werden können.

  • für n < 0 gilt: in jedem Fall statisch unterbestimmt (instabil, labil)
  • für n = 0 gilt: notwendig für statische Bestimmtheit
  • für n > 0 gilt: in jedem Fall statisch unbestimmt, n ist der Grad der statischen Unbestimmtheit

Mit diesem Verfahren lässt sich statische Unbestimmtheit eindeutig feststellen; statische Bestimmtheit jedoch nicht zwingend herleiten. Unter- und Überbestimmtheiten können sich beim Abzählkriterium gegenseitig aufheben, das System ist dabei dennoch nicht statisch bestimmt. Beispiel hierfür ist ein Balken, der auf drei Loslagern gelagert ist: Trotz n=0 ist er offensichtlich nicht statisch bestimmt.[2]

Ebene Fachwerke[Bearbeiten]

Ein statisch bestimmtes ebenes Fachwerk: Es gibt z = 5 Gelenke, a = 4 Auflagerreaktionen und s = 6 Stäbe

Für ebene Fachwerke, also durch reibungsfreie Momentengelenke verbundene Stäbe, die alle in einer Ebene liegen und nur Zug- oder Druckkräfte übertragen können, gilt:

n = a + s - 2z

Hierbei ist:

a: Anzahl der Auflagerreaktionen
s: Anzahl der Stäbe
z: Anzahl der Gelenke.

In jedem Knoten können nur zwei Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, da keine Momente auftreten. Diese Gleichung, auch vereinfachtes Abzählkriterium genannt,[2] stellt somit einen Spezialfall der im vorherigen Abschnitt dargestellten allgemeinen Formel dar. Während die allgemeine Formel auf dem Freischneiden der einzelnen Körper beruht, beruht die vereinfachte Formel auf der Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen in jedem Gelenk und entspricht damit in der Herangehensweise dem Knotenpunktverfahren.

Gleichgewichtsbedingungen[Bearbeiten]

Alle statisch bestimmte Systeme können mit den Gleichgewichtsbedingungen, auch Äquivalenzbedingungen, berechnet werden.

Ebenes System[Bearbeiten]

Statisch bestimmtes System in der Ebene: Balken mit Festlager (links) und Loslager (rechts)

In einem ebenen System existieren drei Freiheitsgrade: Zwei translatorische Freiheitsgrade und ein rotatorischer Freiheitsgrad. Um ein bestimmtes Gleichungssystem zu erhalten, sind daher drei Gleichungen nötig. Jede dieser drei Gleichungen behandelt somit eine Bewegungsrichtung. Die Summe der Horizotalkräfte, die Summe der Vertikalkräfte sowie die Summe der Momente für einen festgelegten Bezugspunkt A müssen bei einem Gleichgewichtssystem 0 sein:

\sum{F_H = 0}, \; \sum{F_V = 0}, \; \sum{M_A = 0}


Der Äquivalenzsatz für allgemeine Kräftesysteme, der auf die Reduktion auf Dynamen beruht, besagt, dass bei den Gleichgewichtsbedingungen Kräftegleichungen durch Momentengleichungen ersetzt werden dürfen. Mögliche Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene sind damit auch:

\sum{F_H = 0}, \; \sum{M_A = 0}, \; \sum{M_B = 0}
\sum{F_V = 0}, \; \sum{M_A = 0}, \; \sum{M_B = 0}
\sum{M_A = 0}, \; \sum{M_B = 0}, \; \sum{M_C = 0}

Bei dieser Vorgehensweise muss jedoch auf möglicherweise auftretende lineare Abhängigkeiten geachtet werden. Werden beispielsweise nur Momentengleichungen verwendet und liegen alle Bezugspunkte auf einer Geraden, so liegt keine gültige Äquivalenzbedingung vor.[2]

In einem zentralen Kräftesystem, also einem Kräftesystem, in dem sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden, treten keine Momente auf, sodass hier nur zwei Gleichungen nötig sind:

\sum{F_H = 0}, \; \sum{F_V = 0}[2]

Räumliches System[Bearbeiten]

Im Raum gibt es drei translatorische und drei rotatorische Freiheitsgrade, somit umfassen die Gleichgewichtsbedingungen hier sechs Gleichungen: Drei Gleichungen behandeln die Kraft in jede der drei Koordinatenrichtungen, drei weitere Gleichungen das Moment in jede der drei Koordinatenrichtungen:

\sum{F_X = 0}, \; \sum{F_Y = 0}, \; \sum{F_Z = 0}, \; \sum{M_{AX} = 0}, \; \sum{M_{AY} = 0}, \; \sum{M_{AZ} = 0}

Auch im Raum ist es möglich, eine oder mehrere Kräftegleichungen durch Momentengleichungen zu ersetzen.

Schnittgrößen infolge Zwang[Bearbeiten]

Verformungen durch Verschiebungen und Verdrehungen der Lager, Temperaturdehnungen, Kriechen und Schwinden von Beton verursachen in statisch bestimmten Systemen im Allgemeinen keine Schnittgrößen, jedoch können Eigenspannungen auftreten. Durch Verformungen, können z.B. Schiefstellung von Stützen hervorgerufen werden, was i.d.R zu einer Änderung der Schnittgroßen führt. Vor allem im Verbundbau dürfen Eigenspannungen zufolge Verformungen im Allgemeinen selbst bei statisch bestimmten Systemen nicht vernachlässigt werden, man spricht dann von so genannten primären Zwängsspannungen, welche (ohne äußerer Belastung) bei statisch überbestimmten Systemen zu sekundären Zwängsspannungen führt. In statisch unbestimmten Systemen hingegen entstehen im Allgemeinen Schnittgrößen durch diese Einwirkungen. Bei Berechnung von statischen (bzw. dynamischen) Systemen, sind im Allgemeinen Zwängsspannungen zu berücksichtigen.

Innere und äußere statische Bestimmtheit[Bearbeiten]

Bei einer Reihe von Stabtragwerken ist es zweckmäßig und anschaulich, zwischen äußerer und innerer statischer Bestimmtheit zu unterscheiden. Ein System oder Systemteil ist äußerlich statisch bestimmt, wenn die äußeren Lagerreaktionen allein mit den Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können. Ein System heißt innerlich statisch bestimmt, falls die Schnittgrößen an geschnittenen Teilsystemen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können.

Beispiele[Bearbeiten]

Der Einfeldträger wird häufig als Grundbeispiel für ein statisches System angeführt

Statisch bestimmte Systeme sind zum Beispiel:

Statisch unbestimmte Systeme sind zum Beispiel:

Beispiele für ein äußerlich bestimmtes, aber innerlich unbestimmtes System:

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b c  K. Meskouris, E. Hake: Statik der Stabtragwerke: Einführung in die Tragwerkslehre. Springer, 1999, ISBN 9783540661368, S. 44 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. a b c d e Univ.-Prof. Dr.-Ing. Bernd Markert: Mechanik 1 Stereostatik. Statik starrer Körper. Institut für Allgemeine Mechanik, Aachen 2014.
  3. Oliver Romberg, Nikolaus Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik. Vieweg & Teubner Verlag, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1489-0, S. 35.