Steifigkeit

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Die Steifigkeit ist eine Größe in der Technischen Mechanik. Sie beschreibt den Widerstand eines Körpers gegen elastische Verformung durch eine Kraft oder ein Drehmoment.

Die Steifigkeit eines Bauteils hängt ab

und

Je nach Belastungsart unterscheidet man unterschiedliche Steifigkeiten, z. B. Dehn-, Biege- oder Torsionssteifigkeit.

Der Kehrwert der Steifigkeit wird Nachgiebigkeit genannt.

Die Steifigkeit ist nicht mit der Festigkeit zu verwechseln, die ein Maß für die ertragbaren Belastungen eines Werkstoffs ist. Dieser Grenzwert (z. B. die Zugfestigkeit R_m) hängt nicht von einer Geometrie, sondern nur vom Material ab und kann daher in Material-Datenblättern nachgeschlagen werden.

Steifigkeiten[Bearbeiten]

Steifigkeiten werden so notiert, dass sich bezogene Größen der Verformung ergeben, also beispielsweise Dehnungen statt Längenänderungen. Dies ist darin begründet, dass die Steifigkeit eine Eigenschaft der Querschnittgeometrie ist. Diese kann sich jedoch über die Bauteillänge ändern, so dass die Multiplikation mit der Länge nicht immer korrekt ist. Die Federkonstante ist ein Sonderfall.

Dehnsteifigkeit[Bearbeiten]

Die Dehnsteifigkeit ist das Produkt aus dem Elastizitätsmodul E des Werkstoffs in Belastungsrichtung und der Querschnittsfläche A senkrecht zur Belastungsrichtung (unabhängig von der Form des Querschnitts):

\text{Dehnsteifigkeit} = E \cdot A, zum Beispiel in \mathrm{N}.

Diese Formulierung gilt für freie Querkontraktion des Querschnitts; bei behinderter Querkontration wird statt des Elastizitätsmoduls der querkontraktionsbehinderte Modul eingesetzt.

Die Längsdehnung \varepsilon des Körpers ist proportional zur angreifenden Normalkraft F und umgekehrt proportional zur Dehnsteifigkeit:

\varepsilon = \frac{F}{\text{Dehnsteifigkeit}} = \frac{F}{E \cdot A} \left( = \frac{\sigma}{E} \right)

mit der Normalspannung \sigma= \frac{F}{A}.

Biegesteifigkeit[Bearbeiten]

Die Biegesteifigkeit ist das Produkt aus dem Elastizitätsmodul des Werkstoffs und dem Flächenträgheitsmoment I des Querschnitts (das wiederum wesentlich von der Form des Querschnitts abhängt):

\text{Biegesteifigkeit} = E \cdot I, zum Beispiel in \mathrm{N \cdot mm^2}.

Wie stark die Durchbiegung bzw. Absenkung eines biegebeanspruchten Bauteils bei gegebener Last ist, hängt neben der Biegesteifigkeit auch von seiner Länge und den Lagerungsbedingungen ab. Die Krümmung \kappa des Körpers ist proportional zum angreifenden Biegemoment M_{\mathrm{B}} und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit E \cdot I:

\kappa = \frac{M_{\mathrm{B}}}{E \cdot I}.

Torsionssteifigkeit[Bearbeiten]

Die Torsionssteifigkeit (auch mit Verwindungssteifigkeit bezeichnet) ist das Produkt aus dem Schubmodul G des Werkstoffs und dem Torsionsträgheitsmoment I_{\mathrm{T}}:

\text{Torsionssteifigkeit} = G \cdot I_{\mathrm{T}}, zum Beispiel in \mathrm{N \cdot mm}.

Das Torsionsträgheitsmoment I_{\mathrm{T}} ist auf die Achse bezogen, um die der Körper tordiert wird. Oft wird irrtümlicherweise behauptet, es entspräche dem polaren Flächenträgheitsmoment I_{\mathrm{p}} eines Querschnitts. Das gilt aber in Wirklichkeit ausschließlich für Kreis- und geschlossene Kreisring-Querschnitte. Ansonsten lässt sich für das Torsionsträgheitsmoment nur in besonderen Fällen eine geschlossene Formel angeben.

Wie stark ein Körper unter einer bestimmten Last verdreht wird, hängt neben dem Torsionsträgheitsmoment auch von seiner Länge L und den Lagerungsbedingungen ab. Die Verdrehung pro Längeneinheit wird Drillung oder Verwindung genannt. Die Drillung \vartheta' des Körpers ist proportional zum angreifenden Torsionsmoment M_{\mathrm{T}} sowie umgekehrt proportional zur Torsionssteifigkeit:

\vartheta' = \frac{M_{\mathrm{T}}\cdot L}{G \cdot I_{\mathrm{T}}}.

Federkonstante[Bearbeiten]

In der Praxis ist oft nicht die Dehnung \varepsilon, sondern die absolute Längenänderung \Delta L von Interesse. Daher wird bei Federn die Federkonstante durch das Verhältnis der notwendigen Kraft F für eine bestimmte Auslenkung \Delta L beschrieben:

c = \frac F{\Delta L}.

Andererseits entspricht die Federkonstante der Steifigkeit der Feder, dividiert durch ihre Länge:

c = \frac{E \cdot A}{L}.

Während die Dehnsteifigkeit unabhängig von der Länge der Feder ist, halbiert sich die Federkonstante, wenn die Länge der Feder verdoppelt wird.

Beispiel: Ein Zugstab mit dem Querschnitt A = 100 mm2 und einem Elastizitätsmodul von 210.000 N/mm2 hat eine Steifigkeit von E·A = 2,1·107 N. Ist der Stab L = 100 mm lang, so beträgt seine Federkonstante E·A / L = 210.000 N/mm. Diese Berechnung gilt nur dann, wenn der Querschnitt des Stabs konstant ist über seine Länge.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

Google Books Kunststoffpraxis: Konstruktion, Band 1/Teil 5 /Kap. 8.2: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Steifigkeit, von Norbert Herrlich, WEKA Media, ISBN 3-8111-5935-6