Stellenwertsystem

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Eine binäre Uhr kann Leuchtdioden benutzen, um binäre Werte darzustellen. Im obigen Bild ist jede Spalte von Leuchtdioden eine BCD-Codierung der traditionell sexagesimalen Zeitdarstellung.

Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, bei dem die (additive) Wertigkeit eines Symbols von seiner Position, der Stelle, abhängt. Unter der Annahme eines endlichen Vorrats an Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) hängt die Anzahl der erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch, d. h. für ganz große Zahlen) linear ist.

Die Größe b des Ziffernvorrats spielt eine entscheidende Rolle. Bei den wichtigen ganzzahligen Systemen ist der Wert der dargestellten Zahl die Summe der Produkte der Ziffernwerte mit den Stellenwerten, also ein Polynom in b mit den (Werten der) Ziffern als Koeffizienten. Deshalb wird b als Basis oder Grundzahl des Systems bezeichnet und oft von der b-adischen Darstellung von Zahlen (nicht zu verwechseln mit p-adischen Zahlen) gesprochen. Eine jede ganze Zahl b \geq 2 eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem. [1]

Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Basis 10), das in der Datenverarbeitung häufig verwendete Dualsystem (dyadisches System mit der Basis 2), das Oktalsystem (mit der Basis 8), das Hexadezimalsystem (mit der Basis 16) sowie das Sexagesimalsystem (mit der Basis 60). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.

Es gibt zwei unterschiedliche Arten, die Zifferndarstellung einer Zahl zu betrachten:

  • einerseits als Folge von Symbolen, also als Wort einer formalen Sprache,
  • andererseits als Folge von Zahlen, die diesen Symbolen entsprechen.

Durch die Zuordnung zwischen Symbolen und Zahlen stehen die beiden Sichtweisen in enger Beziehung. Für mathematische Anwendungen wie zum Beispiel bei Teilbarkeitsregeln wird meist die zweite Möglichkeit gewählt.

Geschichte[Bearbeiten]

Dieses System stammt ursprünglich aus Indien. Adam Ries verbreitete mit seinen Werken das schriftliche Rechnen mit dem Stellenwertsystem im deutschsprachigen Raum.

Grundbegriffe[Bearbeiten]

In einem Stellenwertsystem werden Zahlen mit Hilfe von Ziffern und gegebenenfalls Vorzeichen oder Trennzeichen, dargestellt. Der Wert einer Zahl ergibt sich dann aus der Anordnung der Zeichen.

Basis[Bearbeiten]

Die Anzahl der insgesamt vorhandenen Ziffern wird Basis b des Stellenwertsystems genannt. Man spricht an dieser Stelle auch von einem b-adischen Zahlensystem. In der Regel wird als Basis eine natürliche Zahl größer als eins verwendet. Die gängigsten Basen sind:[2]

Zu weiteren in der Praxis verwendeten b-adischen Zahlensystemen siehe den Abschnitt Gebräuchliche Basen.

Ziffernvorrat[Bearbeiten]

Bei einer b-adischen Zahldarstellung werden genau b verschiedene Ziffern verwendet. In der Regel stehen diese für die natürlichen Zahlen aus der Menge \{ 0, 1, \ldots, b-1 \}.[3] In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern und Zahlenwerte verwendet (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Zahlenwerte normal gedruckt):

  • Im Dualsystem werden die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen jeweils die Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
  • Im Dezimalsystem werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und ihnen jeweils die Zahlen von 0 bis 9 in der natürlichen Reihenfolge zugeordnet.
  • Im Hexadezimalsystem werden die sechzehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F verwendet und ihnen jeweils die Zahlen von 0 bis 15 in der natürlichen Reihenfolge zugeordnet.

In balancierten Stellenwertsystemen werden auch Ziffern mit negativen Werten verwendet.

Stelle und Stellenwert[Bearbeiten]

Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Reihe. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle.[3] Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugewiesen, der einer Potenz der Basis entspricht. Die Stelle mit der niedrigsten Bewertung steht dabei ganz rechts. Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

  • Der Stellenwert der ersten Stelle von rechts („Einerstelle“) ist 10^0 = 1.
  • Der Stellenwert der zweiten Stelle von rechts („Zehnerstelle“) ist 10^1 = 10.
  • Der Stellenwert der dritten Stelle von rechts („Hunderterstelle“) ist 10^2 = 100, und so weiter.

Es erweist sich hierbei als vorteilhaft, die Stellen nicht ab Eins, sondern ab Null zu zählen. Auf diese Weise hat dann die i-te Stelle gerade den Stellenwert b^i. Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

Darstellungen verschiedener Zahlenmengen[Bearbeiten]

Darstellung natürlicher Zahlen[Bearbeiten]

Natürliche Zahlen werden in der b-adischen Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form

\mathbf{a}_n \dotso \mathbf{a}_2 \mathbf{a}_1 \mathbf{a}_0

dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl

\sum_{i=0} ^{n} a_i \cdot b^i = a_0 + a_1 \cdot b + a_2 \cdot b^2 + \dotsb + a_n \cdot b^n

zugeordnet, wobei a_i der der Ziffer \mathbf{a}_i zugewiesene Ziffernwert ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl x eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert x ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu beliebig oft die Ziffer 0 =0 anzuhängen (das heißt in der üblichen Schreibweise voranstellen). Werden Folgen verboten, die mit der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also solche mit führender 0), so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl x existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert x ist. Entgegen diesem Verbot wird der Zahl 0 nicht die leere Folge (also die endliche Folge ohne ein einziges Folgenglied) zugeordnet, sondern die Folge, die aus genau einem Folgenglied besteht, nämlich der Ziffer, der der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl leichter typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel betrachten wir die Ziffernfolge 4C3 im Hexadezimalsystem (b = 16):

a0 ist hier 3, a1 ist hier C und a2 ist 4. Ferner ist 3 = 3, C = 12 und 4 = 4. Also repräsentiert die Folge 4C3 die Zahl

a_0 + a_1 \cdot b + a_2 \cdot b^2 = 3 + 12 \cdot 16 + 4 \cdot 16^2 = 3 + 192 + 1024 = 1219.

Entsprechend repräsentiert die Folge 1010011 im Dualsystem (b = 2) die Zahl

1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^6 = 1 + 2 + 16 + 64 = 83.

Im Dezimalsystem (b = 10) steht 3072 für:

2 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^3 = 3072.

Darstellung ganzer Zahlen[Bearbeiten]

Ganze Zahlen werden wie natürliche Zahlen durch endliche Ziffernfolgen dargestellt. Bei rein positiven Ziffernvorräten muss allerdings negativen Zahlen ein Minuszeichen („“) vorangestellt werden. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 als vorzeichenbehaftete Null in der Form +0, –0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben. In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen („+“) vorangestellt.

Bei den „balancierten“ Systemen ist kein eigenes Vorzeichen bei voller Eineindeutigkeit erforderlich.

Darstellung rationaler Zahlen[Bearbeiten]

Auch rationale Zahlen lassen sich b-adisch darstellen. Wie im Dezimalsystem wird hierbei mit einem Trennzeichen der ganzzahlige vom gebrochenen Teil abgetrennt. Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit b-i multipliziert, wobei i die Position hinter dem Komma angibt.

Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

1\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} = 1 + 0/2 + 1/4 + 1/8 = 1+3/8.

Es kann dabei vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche, aber periodische Folge von Nachkommastellen benötigt wird. Gewöhnlich wird diese Periode dann durch eine über die periodischen Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so eine endliche Darstellung möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Symbolfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:

0{,}00110011\dotso = 0{,}\overline{0011},

Dagegen bezeichnet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (triadischen) System die rationale Zahl 1·3-1 = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333… entspricht.

Allgemein gilt, dass ein gekürzter Bruch genau dann eine endliche b-adische Darstellung hat, wenn alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von b =: p_1 \dotso p_k sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein.)

Die endlichen Darstellungen bilden den Ring

 \Z_{S} := \{x \in \Q \mid \exists n \in \N_0: x b^n \in \Z \} ,

wobei  S := \{ p_1, \dotso, p_k \} . Bei diesen rationalen Zahlen ist in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen  p_1, \dotso, p_k \in S teilbar. Diese Unterringe  \Z_{S} von \Q liegen (wie \Q selbst) für jedes ganzzahlige b \ge 2 dicht in \R, d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus  \Z_{S} approximieren.

Genau bei den endlichen Darstellungen ist die Zifferndarstellung nicht mehr eindeutig. So bezeichnen die Ziffernfolgen 1, 1,0, 1,000… und 0,999… im Dezimalsystem dieselbe rationale (sogar natürliche) Zahl 1, siehe dazu den Artikel 0,999…

Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis b auf, denn die Ziffernfolge

0{,}0\mathbf{nnn}\dotso=0{,}0\overline{\mathbf{n}}

hat den Wert \tfrac1b, wobei \mathbf{n} die Ziffer b-1 bezeichnet. Den Wert \tfrac1b hat aber auch die Ziffernfolge

0{,}1\mathbf{000}\dotso=0{,}1\overline{\mathbf{0}}.

Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, so dass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z. B. bei der Z-Kurve gefordert, die Z \colon \R^2 \to \R^1 injektiv abbildet und bei der abwechselnd 2 b-Ziffernfolgen in 1 gepresst werden. Die Unstetigkeitsstellen der Funktion Z sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche b-adische Darstellung haben.

Die Länge der Periode einer rationalen Zahl mit dem gekürzten Nenner n=c \cdot d, mit natürlichen Zahlen c,d und dem (größter gemeinsamer Teiler) \operatorname{ggT}(b,d)=1, in der b-adischen Darstellung ist 0 für d=1 („endliche“ Darstellung), andernfalls der kleinste Exponent e>0, für den d Teiler von b^e-1 ist.

Darstellung reeller Zahlen[Bearbeiten]

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder \sqrt{2}) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und \sqrt{2} geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.[4]

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Formeln[Bearbeiten]

Berechnung eines Ziffernwertes[Bearbeiten]

Die letzte Ziffer der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n ist der Rest von n bei Division durch b. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

n-b\left\lfloor\frac nb\right\rfloor

gegeben; dabei bezeichnet \lfloor{\cdot}\rfloor die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten k Ziffern von n gebildete Zahl der Rest von n bei Division durch bk.

Die k-te Ziffer (von rechts mit null beginnend gezählt) einer positiven reellen Zahl x ist

\left\lfloor\frac x{b^k}\right\rfloor-b\left\lfloor\frac x{b^{k+1}}\right\rfloor;

für negative k ergibt sich die entsprechende Nachkommastelle.

Berechnung der Stellenzahl[Bearbeiten]

Die Anzahl der Ziffern der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n ist

\lfloor\log_bn\rfloor+1.

Hinzufügen einer Ziffer[Bearbeiten]

Hängt man an eine Zahl n in b-adischer Darstellung eine Ziffer z an, so erhält man die b-adische Darstellung der Zahl bn + z.

Gebräuchliche Basen[Bearbeiten]

  • Das bekannteste und verbreitetste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem (Zehner-System) mit Basis 10 und den Ziffern 0 bis 9. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische. Eine kompakte Speicherung von Dezimalziffern im Computer erlaubt der BCD-Code.
  • Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (binäres Zahlensystem) ein, also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da deren Logik allein auf Bits, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist.
  • Da Binärdarstellungen großer Zahlen unübersichtlich lang sind, wird an ihrer Stelle oft das Hexadezimal- oder Sedezimalsystem verwendet, das mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, …, 9, A, B, …, F) arbeitet. Hexadezimale und binäre Darstellung lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen (= 1 Nibble) einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen.
  • In der Computertechnik wird neben dem Binär- und Hexadezimalsystem auch das Oktalsystem zur Basis 8 (Ziffern 0 bis 7, drei Binärstellen = eine Oktalstelle) verwendet. Diese Verwendung nimmt aber immer mehr ab, da sich die heute üblichen Wortlängen von acht Bit nicht in eine ganze Anzahl von Stellen im Oktalsystem umwandeln lassen.
  • Ebenfalls Verwendung findet die Basis 64 bei Base64 (mit ungewohnter Symbolreihenfolge); die Basis 62 bei Base62 mit den Ziffern 0 bis 9, A bis Z und a bis z; sowie gelegentlich die Basis 32 mit den Ziffern 0 bis 9 und a bis v unter der Bezeichnung Radix32.
  • Ab ca. 1100 v. Chr. wurden im indo-chinesischen Raum Rechentafeln Abakus (Rechentafel) benutzt, denen ein Unärsystem zugrunde liegt. Aber siehe oben zum Unärsystem in Fünfer-Blöcken, das allerdings ein Additionsystem darstellt.
  • Das Vigesimalsystem verwendet 20 als Basis. Es dürfte entstanden sein, weil zum Zählen neben den Fingern auch die Zehen benutzt wurden, und war u. a. in fast allen mesoamerikanischen Kulturen gebräuchlich. Das am weitesten entwickelte System dieser Art wurde von den Maya in der Klassischen Periode für astronomische Berechnungen sowie zur Darstellung von Kalenderdaten verwendet. Es handelte sich um ein Stellenwertsystem »mit einem Sprung«, weil an der zweiten Stelle nur die Ziffern von 1 bis 18 auftreten, um so als dritten Stellenwert 360 (annähernde Länge des Sonnenjahres) zu erreichen. Die Maya kannten die Null und benutzten sie auch in ihren Kalendern.
  • Die Indianer Südamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4, 8 oder 16, da sie mit Händen und Füßen rechneten, jedoch die Daumen dabei nicht einbezogen.
  • Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung. In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in drei oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die Drei galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).
  • Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).
  • Ein eventuell zu erwartendes Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde bisher nicht entdeckt. In Bantusprachen sind die Namen der Zahlen 6, 7, 8 und 9 jedoch oft Fremdwörter oder als 5+1, 5+2, 5+3, 5+4 verstehbar, was auf ein Zahlensystem zur Basis 5 hinweist.
    Zum Beispiel:
    Swahili: 1=moja, 2=mbili, 3=tatu, 4=nne, 5=tano, 6=sita, 7=saba, 8=nane, 9=kenda (Arabisch: 6=sitta, 7=saba'a)
    Tshitschewa: 1=modzi, 2=wiri, 3=tatu, 4=nai, 5=sanu, 6=sanu ndi-modzi, 7=sanu ndi-wiri, 8=sanu ndi-tatu, 9=sanu ndi-nai
Besonders ausgeprägt ist das Quinärsystem bei den südamerikanischen Betoya: 1=tey, 2=cayapa, 3=tozumba, 4=cajezea, 5=teente, 10=caya ente, 15=tozumba-ente, 20=caesea ente.[5]
  • Das Senärsystem eignet sich zum Zählen bis fünfunddreißig mit 2·5 Fingern. Sprachliche Spuren eines solchen Systems sind sehr selten (beispielsweise Bretonisch 18 = triouec'h, etwa „3 6er“)[5]
  • Die frühere Vermutung, die Maori benützten ein System zur Basis 11, gilt mittlerweile als überholt.[5] Einige Völker benutzen das System zur Basis 18.
  • Base62 benutzt die Basis 62 und dient zur Kodierung großer Zahlen mittels ASCII-Zeichen. Dabei werden die Ziffern 0–9 (Wert 0–9), Großbuchstaben A–Z (Wert 10–35) und Kleinbuchstaben a–z (Wert 36–61) verwendet.

Balancierte Stellenwertsysteme[Bearbeiten]

Eine besondere Form des Stellenwertsystems ist das balancierte Stellenwertsystem. Es hat immer eine ungerade Basis b\in\N und verwendet sowohl natürliche als auch negative Ziffernwerte, nämlich die aus der Menge \{ -\tfrac{b-1}2,\dotsc,-1,0,1,\dotsc,\tfrac{b-1}2 \}. Auch mit diesem lassen sich alle ganzen Zahlen (eindeutig) darstellen. Knuth macht die negativen Ziffern durch einen Überstrich kenntlich. So wird z.B. im balancierten Ternärsystem eine Zahl durch die Ziffern 1, 0, und 1 dargestellt, welchen die Werte -1, 0 und 1 zugeordnet sind.

Ein balanciertes Stellenwertsystem hat folgende Eigenschaften:

  • Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.
  • Die erste von 0 verschiedene Stelle zeigt das Vorzeichen an. Das System kommt also ohne ein separates Vorzeichen aus.
  • Eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl geschieht durch einfaches Abschneiden beim Komma.

Konvertierungen[Bearbeiten]

Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenschritt verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, bei dem in der Regel die Zahlenein- und -ausgabe nur im Dezimalsystem geschieht.

Beispiel 1: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 10 in eine Darstellung zur Basis 12[Bearbeiten]

Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung im Zwölfersystem.

Um diese Darstellung zu erhalten, dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Darstellung zur Basis 12. Dabei entspricht der erste Rest dem niedrigsten Ziffernwert der gesuchten neuen Darstellung (in unserem Fall also der Stelle 12^0), der zweite Rest entspricht dem zweitniedrigsten Ziffernwert (also der Stelle 12^1) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

  • 4711 geteilt durch 12 ergibt 392 Rest 7 (entspricht der Ziffer zur Stelle 12^0 im Ergebnis)
  •   392 geteilt durch 12 ergibt 32 Rest 8 (entspricht der Ziffer zur Stelle 12^1 im Ergebnis)
  •   32 geteilt durch 12 ergibt 2 Rest 8 (entspricht der Ziffer zur Stelle 12^2 im Ergebnis)
  •   2 geteilt durch 12 ergibt 0 Rest 2 (entspricht der Ziffer zur Stelle 12^3 im Ergebnis)

Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl erhalten wir somit 2887. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 2: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 16 in eine Darstellung zur Basis 10[Bearbeiten]

Bezüglich des Hexadezimalsystems habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.

Um diese Darstellung zu erhalten, multipliziert man die Ziffernwerte der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

  • 14 mal 16^0 ergibt 14
  • 15 mal 16^1 ergibt 240
  • 15 mal 16^2 ergibt 3840
  • 10 mal 16^3 ergibt 40960

Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl erhalten wir somit 14+240+3840+40960=45054. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 3: Nachkommastellen[Bearbeiten]

Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.

Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.

Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

  • 0,1 mal 2 ergibt 0,2 , die erste Nachkommastelle ist also die 0
  • 0,2 mal 2 ergibt 0,4 , die zweite Nachkommastelle ist also die 0
  • 0,4 mal 2 ergibt 0,8 , die dritte Nachkommastelle ist also die 0
  • 0,8 mal 2 ergibt 1,6 , die vierte Nachkommastelle ist also die 1
  • 0,6 mal 2 ergibt 1,2 , die fünfte Nachkommastelle ist also die 1
  • 0,2 mal 2 (muss nicht mehr ausgeführt werden, da eine Periode aufgetreten ist)

Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Zahlensysteme mit gemischten Basen[Bearbeiten]

Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:

  • alternierend a oder b, wobei a und b zwei verschiedene natürliche Zahlen > 1 sind[6]
  • 2 oder 3 aber in der Reihenfolge, so dass e^k am „relativ engsten“ approximiert wird mit dem Produkt der ersten k Basen
  • als Basis werden die natürlichen Zahlen > 1 der Reihe nach genutzt („Fakultätsbasis“)
  • die Primzahlen der Reihe nach oder die (sich dann wiederholenden) Primzahlen die mit jeder nächstgrößeren Primzahlpotenz auftreten

In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.[7]

Datumsformat als Zahlensystem mit gemischten Basen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Datumsformat

Auch die Darstellung von Datum und Uhrzeit hat traditionell mehrere Basen und Ziffernsysteme. Im hiesigen Kontext sei als einziges Exempel die folgende im angelsächsischen Sprachraum gebräuchliche Darstellung

[1-12] [1–31] [0–9][2,4,*] [1-12] [am,pm] [0–59] [0–59] [0–9]*

angeführt, bei der zudem die Reihenfolge von Jahr-, Monat- und Tagangaben einerseits sowie Halbtag und Stunde andererseits entgegen der Rangfolge vertauscht sind.[8] Hier finden also die Basen 2, 10, 12, 28–31 und 60 Verwendung. Insbesondere ist bemerkenswert, dass sich die Basis der Tagesstelle nach dem Wert der Monatsstelle richtet.

Nicht-natürliche Zahlen als Basis[Bearbeiten]

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexen) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.

Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler Zahlen nicht. Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt φ = 1+52 als Basis und {0,1} als Ziffernvorrat verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form r+s5 mit rationalen r, s dar (dagegen hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung).

Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme für die rationalen Zahlen beruhen auf der Konvergenz in Bezug auf die Metrik des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags. Die unendlichen Reihen – die hier immer, und zwar rechts bei den kleinen Potenzen, konvergieren – sind dann reelle Zahlen. Es gibt aber für die rationalen Zahlen auch Metriken, die auf nichtarchimedischen Betragsfunktionen basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen – die auch dort immer, und zwar links bei den großen Potenzen, konvergieren – sind p-adische Zahlen.

Weiterführende Texte[Bearbeiten]

Der Artikel Zahlbasiswechsel beschäftigt sich mit der Umrechnung der Darstellung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen. Eine Einführung zum Rechnen in Stellenwertsystemen befindet sich im Artikel Arithmetik in Stellenwertsystemen. Der Artikel Teilbarkeit erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Der Fall b=1 bedeutet einen nur aus einem einzigen Element bestehenden Ziffernvorrat, was zu einem nicht so mächtigen Darstellungssystem führt, dem Unärsystem. Dieses gilt nicht als Stellenwertsystem, da die Wertigkeit einer Ziffer unabhängig von ihrer Position immer gleich ist.
  2. DIN 1333, Kap. 8
  3. a b DIN 1333, Zahlenangaben, 1992, Kap. 10.1
  4. Ihr Maß ist 0 und damit auch der Zahlen mit mehrfacher Darstellung.
  5. a b c Levi Leonard Conant, The Number Concept (Etext im Project Gutenberg, engl.)
  6. Wie oben bei den Zweierpotenzen kann eine solche Darstellung als „Sonderfall“ einer ab-adischen aufgefasst werden.
  7. Je nach Position unterschiedliche Ziffernsysteme heben allerdings den Unterschied zu den Additionssystemen auf.
  8. An tatsächlichen Zyklen angelehnt sind dabei nur Tag, Monat und Jahr. Alle anderen Eigenwilligkeiten der Darstellung sind menschliche, mit einer außerordentlichen Beständigkeit behaftete, Artefakte.
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