Fortsetzung (Mathematik)

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Die Fortsetzung einer Abbildung ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere in der Analysis und der Topologie verwendet wird. Unter einer Fortsetzung einer Abbildung versteht man eine weitere Abbildung, die auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereichs mit der gegebenen Abbildung übereinstimmt. Von besonderem Interesse ist es, ob es Fortsetzungen zu stetigen beziehungsweise analytischen Funktionen gibt, die ebenfalls stetig beziehungsweise analytisch sind.

Definition[Bearbeiten]

Seien X,\, Y und A Mengen. Eine Abbildung f \colon X \to Y heißt Fortsetzung der Abbildung g \colon A \to Y genau dann, wenn A eine Teilmenge von X ist und g(x) = f(x) für alle x \in A gilt.[1]

Stetige Fortsetzung[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Seien X und Y topologische Räume, A \subset X ein Teilraum von X und g \colon A \to Y eine stetige Abbildung. Eine Abbildung f \colon X \to Y heißt, analog zu obiger Definition, stetige Fortsetzung von g, falls f stetig ist und g(x) = f(x) für alle x \in A gilt.[2]

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Funktion g \colon \R \setminus \{0\} \to \R definiert durch
x \mapsto \frac{x}{x} + 5x
ist stetig auf dem Definitionsbereich \R \setminus \{0\} und kann auf ganz \R fortgesetzt werden. Die Fortsetzung lautet
f(x) = \begin{cases}
\frac{x}{x} + 5x &\text{für}\ x \in \R \setminus \{0\},\\
1 &\text{für}\ x = 0\,.
\end{cases}
Hier wurde die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt. Man spricht in diesem speziellen Fall von einer stetig behebbaren Definitionslücke.
  • Die stetige Funktion g \colon \R \setminus \{0\} \to \R definiert durch
x \mapsto \frac{1}{x} \sin(x)
hat eine stetige Fortsetzung auf ganz \R. Es gilt \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \sin(x) = 1 und somit ist
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x} \sin(x) &\text{für}\ x \in \R \setminus \{0\},\\
1 &\text{für}\ x = 0\,
\end{cases}
eine stetige Fortsetzung von g.
  • Die Funktion g \colon \R \setminus \{0\} \to \R, x \mapsto \sin(\tfrac{1}{x}) besitzt keine stetige Fortsetzung auf ganz \R, denn der Grenzwert \lim_{x \to 0} \sin(\tfrac{1}{x}) existiert nicht.
  • Im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis wird die Fourier-Transformation betrachtet. Dies ist eine Abbildung \mathcal{F} \colon \mathcal{S} \to \mathcal{S} auf dem Schwartz-Raum. Da der Schwartz-Raum dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen L^2 liegt. Kann die Fourier-Transformation stetig auf L^2 fortgesetzt werden. Jedoch hat sie auf diesem Raum nicht mehr die übliche Integraldarstellung, die sie auf dem Schwartz-Raum hat.

Fortsetzungssatz von Tietze[Bearbeiten]

Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze

Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Räume, in denen stetige Funktionen auf abgeschlossenen Teilmengen immer stetig fortgesetzt werden können. Es sind genau die normalen topologischen Räume, in denen das immer möglich ist. Der Satz kann als Verallgemeinerung des Lemmas von Urysohn verstanden werden.

Einschränkung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Einschränkung

Das zur Fortsetzung von Funktionen gegenteilige Konzept ist die Einschränkung des Definitionsbereichs einer Abbildung.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Guido Walz (Hrsg.): Fortsetzung einer Abbildung. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2.  Dušan. Repovš, Pavel Vladimirovič. Semenov: Continuous selections of multivalued mapping. Kluwer Academic, Dordrecht ; Boston, Mass 1998, ISBN 978-0-7923-5277-8, S. 23–24.