Stiefel-Mannigfaltigkeit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Basen der Unterräume eines Vektorraumes.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mathbb K=\R,\C oder \mathbb H der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei V=\mathbb K^n ein n-dimensionaler \mathbb K-Vektorraum. Sei 0\le k\le n.

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit V_k(\mathbb K^n) definiert als Menge aller k-Tupel linear unabhängiger Vektoren.

Wirkung der linearen Gruppe[Bearbeiten]

Die Gruppe GL(n,\mathbb K) wirkt transitiv auf V_k(\mathbb K^n) mit Stabilisator GL(k,\mathbb K), man erhält also eine Bijektion

V_k(\mathbb K^n)=GL(n,\mathbb K)/GL(k,\mathbb K).

Tatsächlich wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

\begin{align}
V_k(\mathbb R^n) &\cong \mbox{O}(n)/\mbox{O}(n-k)\\
V_k(\mathbb C^n) &\cong \mbox{U}(n)/\mbox{U}(n-k)\\
V_k(\mathbb H^n) &\cong \mbox{Sp}(n)/\mbox{Sp}(n-k).
\end{align}

Topologie[Bearbeiten]

Man benutzt die Bijektion V_k(\mathbb K^n)=GL(n,\mathbb K)/GL(k,\mathbb K), um auf V_k(\mathbb K^n) eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die V_k(\mathbb K^n) zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

\dim V_k(\mathbb R^n) = nk - \frac{1}{2}k(k+1)
\dim V_k(\mathbb C^n) = 2nk - k^2
\dim V_k(\mathbb H^n) = 4nk - k(2k-1).

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von V_k(\mathbb K^n) mit einem Unterraum von \mathbb K^{nk}.

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit[Bearbeiten]

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit G_k(\mathbb K^n) ist die Menge der k-dimensionalen Untervektorräume des \mathbb K^n.

Jedem k-Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

V_k(\mathbb K^n)\rightarrow G_k(\mathbb K^n).

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

\begin{align}
\mathrm O(k) &\to V_k(\mathbb R^n) \to G_k(\mathbb R^n)\\
\mathrm U(k) &\to V_k(\mathbb C^n) \to G_k(\mathbb C^n)\\
\mathrm{Sp}(k) &\to V_k(\mathbb H^n) \to G_k(\mathbb H^n).
\end{align}

Stiefel-Mannigfaltigkeiten in der diskreten Mathematik[Bearbeiten]

Der Graph-Homomorphismen-Komplex Hom(C_5,K_{n}) ist homöomorph zur Stiefel-Mannigfaltigkeit V_2(\R^{n-1}) (Csorba-Vermutung, bewiesen von Schultz).[1]

Belege[Bearbeiten]

  1. Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifold Hom(C5,Kn) pdf