Strömungswiderstandskoeffizient

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Der Strömungswiderstandskoeffizient, Luftwiderstandsbeiwert/Widerstandsbeiwert oder cw-Wert (nach dem üblichen Formelzeichen c_{\mathrm w}) ist ein dimensionsloses Maß (Koeffizient) für den Strömungswiderstand eines von einem Fluid umströmten Körpers.

Umgangssprachlich ausgedrückt, ist der c_\mathrm w-Wert ein Maß für die „Windschlüpfigkeit“ eines Körpers. Er gibt jedoch erst mit der zusätzlichen Kenntnis von Geschwindigkeit, Stirnfläche und Dichte des Fluids (z. B.: der Luft) den tatsächlichen Strömungswiderstand an.

Definition[Bearbeiten]

Der Strömungswiderstandskoeffizient ist durch:

c_\mathrm w = \frac{F_\mathrm w}{q \cdot A} = \frac{F_\mathrm w}{\frac{\rho}{2}\,v^{\,2} \cdot A} = \frac{2  F_\mathrm w}{\rho\, v^{\,2} A}

definiert. Hierbei wird die Widerstandskraft F_W auf den Staudruck q der Anströmung und eine Referenzfläche A normiert. Ferner bilden \rho die Dichte und v die Geschwindigkeit der ungestörten Anströmung. Die Referenzfläche ist definitionsabhängig. Üblicherweise ist sie gleich der Stirnfläche des angeströmten Körpers. In der Flugzeugaerodynamik wird jedoch die Flügelfläche als Referenz herangezogen.

Andere Bezeichnungen für den Strömungswiderstandskoeffizient lauten (Luft-)Widerstandsbeiwert, -koeffizient oder Stirnwiderstand. Das Formelzeichen c_\mathrm w (mit w für Widerstand) ist nur im deutschen Sprachraum üblich; im Englischen wird der Drag-Coefficient als c_\mathrm d oder c_\mathrm x notiert.

Das Produkt aus c_\mathrm w A wird häufig als Widerstandsfläche bezeichnet.[1][2] Die Betrachtung von Widerstandsflächen ist beispielsweise für den Vergleich von Fahrzeugen im Originalmaßstab sinnvoll, weil in den Gesamtwiderstand eines angeströmten Körpers sowohl die Körperform als auch die Abmessungen eingehen.

Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten[Bearbeiten]

Strömungswiderstandskoeffizient einer Kugel in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl cW=f(Re). Die charakteristische Länge ist in diesem Fall der Kugeldurchmesser d; die Bezugsfläche A ist eine Kreisfläche mit dem Durchmesser d.

Allgemein gilt, dass bei inkompressibler Strömung[A 1] der Strömungswiderstandskoeffizient cW von der Reynolds-Zahl Re abhängt:

c_W = f(Re) \!\, mit Re = \frac{v L \rho}{\eta}

Diese Aussage ergibt sich, wenn man davon ausgeht, dass die Strömungswiderstandskraft FW eines Körpers in einer bestimmten Lage abhängig von der Anströmgeschwindigkeit v, der Dichte ρ und der Viskosität (Zähigkeit) η des Fluids sowie einer charakteristischen Länge L des Körpers ist. Die charakteristische Länge L ist eine bestimmte geometrische Abmessung, deren Quadrat L2 in einem festen Verhältnis zur Bezugsfläche A steht.

F_W = f(v,\,\rho,\,\eta,\,L)

Mittels einer Dimensionsanalyse nach dem Buckinghamschen Π-Theorem lässt sich ableiten, dass die zwei Ähnlichkeitskennzahlen Strömungswiderstandskoeffizient cW und Reynoldszahl Re ausreichen, um den Strömungswiderstand eines bestimmten Körpers zu beschreiben,[3] was eine unkompliziertere allgemeingültige Darstellung des Widerstandes einer bestimmten Körperform ermöglicht.

Stumpfe, kantige Körper haben über einen großen Bereich der Reynolds-Zahl einen weitgehend konstanten Widerstandsbeiwert. Das ist z. B. beim Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen bei den relevanten Geschwindigkeiten der Fall.

cW in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit

Bei kompressiblen Strömungen, also bei Strömungen mit veränderlicher Dichte, besteht auch eine Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten von der Mach-Zahl. Im transsonischen Bereich und im Überschallbereich ändert sich der Strömungswiderstandskoeffizient stark. In der Nähe der Schallgeschwindigkeit steigt er auf ein Mehrfaches an und sinkt bei sehr hohen Machzahlen auf etwa den doppelten Unterschall-cW-Wert. Die Grafik veranschaulicht den Zusammenhang schematisch. Oberhalb der kritischen Machzahl überschreiten Teilumströmungen die Schallgeschwindigkeit. Oberhalb der Widerstandsdivergenzmachzahl[4] steigt der Strömungswiderstand stark an. Das Verhalten im Überschallbereich wird bestimmt durch die Geometrie des Körpers. In der Zeichnung steht die grüne Kurve für einen stromlinienförmigen Körper.

Der Widerstandsbeiwert bestimmt für Satelliten ihre Lebensdauer im Orbit. Bei einer Flughöhe oberhalb von ca. 150 km ist die Atmosphäre so dünn, dass die Strömung nicht mehr als laminare Kontinuumsströmung, sondern als freie molekulare Strömung approximiert wird. In diesem Bereich liegt der cW-Wert typischerweise zwischen 2 und 4, oft wird mit einem Wert von 2,2 gerechnet. Mit steigender Höhe verringert sich der Einfluss der Atmosphäre und ist oberhalb von ca. 1000 km vernachlässigbar.

Ermittlung[Bearbeiten]

Der Strömungswiderstandskoeffizient wird üblicherweise im Windkanal ermittelt. Der Körper steht dabei auf einer Platte, die mit Kraftsensoren ausgestattet ist. Die Kraft in Richtung der Anströmung wird gemessen. Aus dieser Widerstandskraft \vec F_\mathrm w und den bekannten Größen wie Luftdichte und Stirnfläche wird der Strömungswiderstandskoeffizient bei gegebener Anströmgeschwindigkeit errechnet. Neben der experimentellen Ermittlung kann der Widerstand je nach Komplexität der Modellform und verfügbarer Rechnerkapazität auch numerisch über die Integration der Verteilung von Reibungs- und Druckbeiwert über die Modelloberfläche berechnet werden.

Anwendung[Bearbeiten]

Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten wird die Widerstandskraft  F_\mathrm w wie folgt berechnet:

F_\mathrm w = \frac{\rho\,c_\mathrm w\, A\,v^{\,2}}{2}.

Der Strömungswiderstand hängt somit ab von

  • der Dichte des strömenden Fluids \rho (vergleiche Luftdichte!),
  • der Referenzfläche A,
  • der Strömungsgeschwindigkeit v und
  • dem Strömungswiderstandskoeffizienten c_\mathrm w.

Der Luftwiderstand ist somit jeweils proportional zum Strömungswiderstandskoeffizient, zur projizierten Frontfläche und zum Quadrat der Geschwindigkeit. Die erforderliche Antriebsleistung ist wegen P = \vec F \cdot \vec v sogar proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit. Daher hat die Wahl der Geschwindigkeit bei Kraftfahrzeugen neben den anderen beiden Faktoren besondere Auswirkung auf den Treibstoffverbrauch.

Der Luftwiderstand ist ausschlaggebend für die Abweichung der tatsächlichen ballistischen Kurve von der idealisierten Wurfparabel.

Beispiele[Bearbeiten]

cW-Werte von typischen Körperformen[Bearbeiten]

Wert Form
2,3 Halbrohr lang, konkave Seite
2,0 lange Rechteckplatte
1,33 Halbkugelschale, konkave Seite, Fallschirm
1,2 Halbrohr lang, konvexe Seite
1,2 langer Zylinder, Draht (Re < 1,9 · 105)
1,11–1,17 runde Scheibe, quadratische Platte
0,78 Mensch, stehend [5]
0,6 Gleitschirm (Bezugsfläche Strömungsquerschnittsfläche!)
0,45 Kugel (Re < 1,7 · 105)
0,35 langer Zylinder, Draht (Re > 6,7 · 105)
0,34 Halbkugelschale, konvexe Seite
0,09–0,18 Kugel (Re > 4,1 · 105)
0,08 Flugzeug (Bezugsfläche Tragfläche)
0,03 Pinguin
0,02 Tropfen stromlinienförmig

\mathrm{Re} bezeichnet hierbei die Reynolds-Zahl

Luftwiderstandsbeiwerte einiger Serien- und Experimental-Pkw[Bearbeiten]

cW-Wert Experimentalfahrzeuge Serienfahrzeuge
0,9 Ford Model T
0,78 Mercedes G-Klasse (W 463, langer Radstand)
0,7 Motorrad, unverkleidet
0,51 moderner Lkw (Sattelzug, 2012)
0,50 Citroën 2CV
0,48 VW Käfer
0,44 VW-Bus
0,41 Mercedes-Benz W 116 (1972), VW Golf I (1974)
0,407 Smart Roadster (nicht Coupé)
0,39 VW Karmann-Ghia (1967/68), Citroën CX (1974), Porsche Carrera GT (2003)
0,38 VW New Beetle (1998), Lada Kalina 1118 (Basisausstattung 2008)
0,37 Renault Twingo I (1995), Smart Fortwo (1998), Dodge Journey (2008)
0,36 Tatra 87 (1937), Citroën DS (1955), Mercedes-Benz Baureihe 126 (1979)
0,35 NSU Ro 80 (1967), Lada Kalina 1118 (gehobene Ausstattung 2008)
0,34 Ford Sierra, VW Golf II, VW Scirocco (2008), Citroën Saxo, GAZ Pobeda (1946)
0,33 Peugeot 206, Mercedes-Benz 190 E (1983), Smart Forfour, Seat Ibiza 6K (1993)
0,32 Fiat Grande Punto (2005), Seat Leon (Typ 1P), VW Polo V (2009)
0,31 Renault 19 (1988), Citroën C4 Picasso, VW Golf VI (2008), Ford Mondeo MK1 (1995)
0,30 Saab 92 (1947), Citroen SM (1970), Audi 100 C3 (1982), Škoda Octavia (Limousine 2008), Škoda Superb II (Combi 2009)
0,29 Opel Vectra A (1988), Opel Vectra B (1996), BMW 1er (2004), BMW 7er (2008), Audi 80 B3 (1986), Lexus LS 400 (1989),
0,28 Rumpler-Tropfenwagen (1921), Mercedes-Benz W 124 (1984), Renault 25 (1984), Audi A2 (1999–2005), Opel Vectra C (2002) Mercedes A-Klasse (W 176, 2013)
0,27 Tucker Torpedo (1947/1948), VW Passat B5 (1996), Mercedes-Benz CL-Klasse (2006), Mercedes W 210, (1995), Audi A4 B7 (2007), Opel Insignia (2008), Honda Civic (2012)
0,26 Opel Calibra (1990), Mercedes C-Klasse (2000), BMW 3er (2008), Audi A8 D4 (2010)
0,25 Panhard CD (1962), Honda Insight (1999), Audi A2 1.2 TDI (2000), Mercedes-Benz E-Klasse (W 212, 2009), Toyota Prius III (2009)
0,24 Mercedes-Benz E-Klasse Coupé (C 207, 2009), Tesla Model S (2012)
0,23 BMW K1 (Kamm-Wagen K1, Versuchswagen, 1938/39). Toyota FT-Bh (Konzeptstudie, 2012) Mercedes-Benz CLA-Klasse (C 117, 2013)
0,22 Citroën ECO 2000 (Studie, 1981–1984), BMW Vision Efficient Dynamics (Studie, 2009) Mercedes-Benz CLA 180 BlueEFFICIENCY Edition (C 117, 2013), VW Käfer Sagitta (1947)[6]
0,21 BMW H2R (Studie, 2004) Tatra 77 (1934)[7]
0,2 Mitsubishi HSR-II (Studie, 1989), Loremo GM EV1 (1996)
0,19 Mercedes-Benz Bionic Car (Studie, 2005),
0,189 VW XL1[8]
0,18 Elektromotorroller Zerotracer (Gewinner Zero Emission Race 2010)
0,17 Schluckspecht III (Hochschule Offenburg, Gewinner Shell Eco-marathon 2008)[9]
0,168 Daihatsu UFE-III (Studie, 2006)
0,159 VW 1L (1-Liter-Auto)
0,14 Schlörwagen („Göttinger Ei“; Prototyp, 1939)
0,11 Fortis Saxonia (Sax2 – Ecocar der TU Chemnitz)
0,075 PAC-Car II (Weltrekordfahrzeug der ETH Zürich)
0,070 TERA Fennek (Fahrzeug des TERA TU Graz)

Der cW-Wert quantifiziert die aerodynamische Güte eines Körpers. Durch Multiplikation mit der Bezugsfläche A (bei Fahrzeugen üblicherweise die Stirnfläche) erhält man die Widerstandsfläche eines Fahrzeugs: Widerstandsfläche f_\mathrm w = c_\mathrm w A. Der Luftwiderstand, der den Verbrauch eines Kraftfahrzeugs bei hohen Fahrgeschwindigkeiten bestimmt, ist proportional zur Widerstandsfläche. Von Herstellern wird die Stirnfläche selten angegeben.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Sighard F. Hoerner: Fluid-Dynamic Drag. Eigenverlag, 1965
  • Horst Stöcker (Hg.): Taschenbuch der Physik. 4. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4
  • Hans-Hermann Braess, Ulrich Seiffert: Vieweg-Handbuch Kraftfahrzeugtechnik. 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2001, ISBN 3-528-13114-4
  • Karl-Heinz Dietsche, Thomas Jäger, Robert Bosch GmbH: Kraftfahrtechnisches Taschenbuch. 25. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-23876-3
  • Wolfgang Demtröder: Mechanik und Wärme. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-26034-X (Experimentalphysik. Band 1)
  • Thomas Schütz: Hucho - Aerodynamik des Automobils. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-2316-8.

Weblinks[Bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Auch kompressible Fluide wie Luft können als inkompressibel betrachtet werden, wenn die Dichte im Strömungsfeld weitestgehend konstant ist. Das ist bis zu einer Mach-Zahl von 0,3 im Allgemeinen der Fall.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Ludwig Prandtl: Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, Teil 1, Universitätsverlag Göttingen 2009 (Ersterscheinung 1921) ISBN 978-3-941875-35-7 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  2. Wolfgang-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-62160-1, S. 111–113
  3. Jürgen Zierep: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.
  4. Drag divergence Mach number auf en.wikipedia.org.
  5. www.dieter-heidorn.de: Fall mit Luftwiderstand
  6. OCC Magazin: Käfer-Spezialversion im Windkanal, 5. April 2013.
  7. Private Homepage mit einer Sammlung von cw-Werten
  8. Webpräsenz des Volkswagen XL1
  9. Webpräsenz des Team Schluckspecht der Hochschule Offenburg