Strahldichte

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Die Strahldichte (auch spezifische Intensität, engl. radiance) L liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit der von einer Sendefläche abgegebenen Strahlung.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Strahldichte und spektrale Strahldichte

Die meisten Objekte geben von unterschiedlichen Stellen ihrer Oberfläche unterschiedlich viel Strahlungsleistung ab.

Man betrachte einen Körper (beispielsweise eine Glühlampe, eine Leuchtdiode o.ä.), welcher Strahlung (gemessen beispielsweise in Watt) in seine Umgebung abgibt. In der Regel werden verschiedene Punkte des Körpers verschieden viel Strahlung abgeben, und er wird auch in verschiedene Richtungen verschieden viel Strahlung aussenden. Soll diese Charakteristik detailliert beschrieben werden, so ist das Konzept der Strahldichte nötig.

Es ist nämlich nicht möglich anzugeben, wieviele Watt von einem unendlich kleinen Punkt auf der Oberfläche des Körpers ausgehen, da die endliche Anzahl abgestrahlter Watt sich auf eine unendliche Anzahl solcher Punkte verteilt und auf einen einzelnen Oberflächenpunkt daher Null Watt entfallen. Stattdessen betrachtet man eine kleine Umgebung des betreffenden Punktes, setzt die von dieser Umgebung ausgehende (endliche) Strahlungsleistung ins Verhältnis zu ihrer (endlichen) Fläche und lässt die Umgebung gedanklich auf Null schrumpfen. Obwohl die abgestrahlte Leistung wie auch die abstrahlende Fläche dabei jeweils gegen Null gehen, strebt beider Verhältnis gegen einen endlichen Grenzwert, die Flächenleistung oder spezifische Ausstrahlung, gemessen in Watt pro Quadratmetern.

Die meisten Objekte geben in unterschiedliche Richtungen unterschiedlich viel Strahlungsleistung ab.

Ebenso ist es nicht möglich anzugeben, wieviele Watt in eine bestimmte Richtung abgegeben werden, da die endliche Anzahl abgestrahlter Watt sich auf unendlich viele mögliche Richtungen verteilt und auf jede einzelne Richtung daher Null Watt entfallen. Stattdessen betrachtet man einen kleinen, die gewünschte Richtung umgebenden Raumwinkel, setzt die in diesen Raumwinkel abgegebene (endliche) Leistung ins Verhältnis zur Größe des Raumwinkels und läßt den Raumwinkel gedanklich auf Null schrumpfen. Wiederum streben dabei sowohl der Raumwinkel als auch die in ihm enthaltene abgestrahlte Leistung jeweils gegen Null, ihr Verhältnis aber gegen einen endlichen Grenzwert, die Strahlstärke, gemessen in Watt pro Steradian. Die Strahldichte beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit der abgegebenen Strahlung.

Die Strahldichte L_{\Omega}(\beta, \varphi) gibt an, welche Strahlungsleistung d2Φ von einem gegebenen Punkt der Strahlungsquelle in die durch den Polarwinkel β und den Azimutwinkel \varphi gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement cos(β)dA und pro Raumwinkelelement dΩ ausgesendet wird.

L_{\Omega}(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm{d}^2 \Phi}{\cos(\beta) \mathrm{d}A\ \cdot \mathrm{d}\Omega}
β ist hierbei der Winkel zwischen Ausstrahlrichtung und Flächennormale

Die Definition der Strahldichte weist die Besonderheit auf, dass die abgegebene Strahlungsleistung nicht wie üblich auf das abstrahlende Flächenelement dA sondern auf das in Abstrahlrichtung projizierte Flächenelement cos(β)dA bezogen wird. Die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt nämlich zum einen von den (möglicherweise richtungsabhängigen) physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche und zum anderen rein geometrisch von der in Abstrahlrichtung wirksamen Projektion der strahlenden Fläche ab. Der zweite Effekt bewirkt, dass die unter dem Polarwinkel β abgegebene Strahlungsleistung um den Faktor cos(β) geringer ist als die senkrecht abgegebene Leistung. Die Division durch den Faktor cos(β) rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften übrig bleibt.

Oberflächen, welche keine Richtungsabhängigkeit der Strahldichte aufweisen, nennt man diffuse Strahler oder lambertsche Strahler. Sie geben in alle Richtungen dieselbe Strahldichte ab. Die von ihnen in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung variiert nur noch mit dem Kosinus des Abstrahlwinkels; sie sind daher mathematisch besonders einfach zu behandeln.

Für die Definition der Strahldichte ist es unerheblich, ob es sich bei der vom Flächenelement abgegebenen Strahlung um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittierte oder reflektierte Strahlung oder eine Kombination daraus handelt.

Das photometrische Äquivalent der Strahldichte ist die Leuchtdichte.


Die spektrale Strahldichte (engl. spectral radiance) L_{\Omega \nu}(\beta, \varphi, \nu) (Einheit: W m-2 Hz-1 sr-1) eines Körpers gibt an, welche Strahlungsleistung der Körper bei der Frequenz ν in die durch den Polarwinkel β und den Azimutwinkel \varphi gegebene Richtung pro projizierter Flächeneinheit, pro Raumwinkeleinheit und pro Einheits-Frequenzintervall aussendet. Sie wird auch als L_{\Omega \lambda}(\beta, \varphi, \lambda) (Einheit: W m-3 sr-1) bezogen auf das Einheits-Wellenlängenintervall angegeben.

Integration über das relevante Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall liefert wieder die Strahldichte, welche daher, wenn sie von der spektralen Strahldichte unterschieden werden muss, auch Gesamtstrahldichte genannt wird.


Das Verhältnis der in eine bestimmte Richtung abgegebenen und bei einer bestimmten Wellenlänge betrachteten spektralen Strahldichte eines Flächenelements zu der bei derselben Wellenlänge betrachteten spektralen Strahldichte eines Schwarzen Strahlers ist der gerichtete spektrale Emissionsgrad des Flächenelements.

Das Verhältnis der in eine bestimmte Richtung abgegebenen Gesamtstrahldichte eines Flächenelements zu der Gesamtstrahldichte eines Schwarzen Strahlers ist der gerichtete Gesamtemissionsgrad des Flächenelements.

[Bearbeiten] Anwendung

Umstellen der Definitionsgleichung liefert die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA in das Raumwinkelelement dΩ gestrahlt wird, welches in der durch die Winkel β und φ beschriebenen Richtung liegt:

\mathrm{d}^2 \Phi(\beta, \varphi) = L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}\Omega

Soll die Ausstrahlung einer endlich großen Abstrahlfläche A in einen endlich großen Raumwinkel Ω ermittelt werden, so ist über dA und dΩ zu integrieren:

\Phi = \int_{\Omega} \int_A L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Delta\beta} \int_{\Delta\varphi} \int_A L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta)\sin(\beta) \cdot \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi

Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in Kugelkoordinaten verwendet:

\mathrm{d}\Omega = \sin(\beta) \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi

Da LΩ im allgemeinen vom Ort auf der Strahlfläche A und von den überstrichenen Richtungen abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral. Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Strahlfläche ein lambertscher Strahler (die Strahldichte also richtungsunabhängig) mit konstanten Oberflächeneigenschaften (die Strahldichte also ortsunabhängig) ist. Dann ist die Strahldichte eine konstante Zahl und kann vor das Integral gezogen werden:

\Phi = A \cdot L \int_{\Omega} \cos(\beta) \ \mathrm{d} \, \Omega

Das Integral hängt jetzt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels Ω ab und kann unabhängig von L gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt werden.

Wird beispielsweise die Ausstrahlung in den gesamten von der Strahlfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert π und die Abstrahlung eines lambertschen Strahlers der Fläche A in den gesamten Halbraum ist einfach:

\Phi = \pi \, A \, L (Strahlungsleistung eines lambertschen Strahlers in den Halbraum)


Ist die Strahlfläche ein Schwarzer Strahler der Temperatur T, so lässt sich die benötigte Strahldichte sofort nach dem planckschen Strahlungsgesetz berechnen. Ist sie ein Grauer Strahler, so ist die plancksche Strahldichte um den Emissionsgrad abzumindern. Eine eventuelle Orts- und Richtungsabhängigkeit des Emissionsgrades sowie eventuelle Reflexionen können die Integrationen erschweren.

[Bearbeiten] Fotometrisches Grundgesetz

[Bearbeiten] Ausstrahlung

Zwei Flächen als gegenseitige Strahlungspartner im fotometrischen Grundgesetz

Betrachtet man ein Flächenelement dA1, welches mit der Strahldichte L1 ein im Abstand r befindliches Flächenelement dA2 bestrahlt, so spannt dA2 von dA1 aus betrachtet den Raumwinkel dΩ2 = cos(β2)dA2 / r2 auf, und aus der ersten Gleichung im vorigen Abschnitt folgt:

\mathrm{d}^2 \Phi_{1\rightarrow2} = L_1 \cdot \cos(\beta_1) \, \mathrm{d}A_1 \, \mathrm{d}\Omega_2 = \frac{L_1 \cdot \cos(\beta_1) \, \cos(\beta_2) \, \mathrm{d}A_1 \, \mathrm{d}A_2}{r^2}

Dabei sind β1 und β2 die Neigungswinkel der Flächenelemente gegen die gemeinsame Verbindungslinie.

Dies ist das fotometrische Grundgesetz. Durch Integration über die beiden Flächen ergibt sich wiederum die von Fläche 1 nach Fläche 2 fließende Strahlungsleistung.

[Bearbeiten] Einstrahlung

Die Bestrahlungsdichte E ist analog zur Strahldichte, jedoch für den Einstrahlungsfall definiert. Sie gibt an, welche Strahlungsleistung d2Φ aus der durch den Polarwinkel β und den Azimutwinkel \varphi gegebenen Richtung pro projiziertem Flächenelement cos(β)dA und pro Raumwinkelelement dΩ empfangen wird. Die bisher abgeleiteten Gleichungen gelten analog. Insbesondere gilt für die auf Flächenelement dA2 empfangene, von dA1 abgegebene Strahlungsleistung:

\mathrm{d}^2 \Phi_{2\leftarrow1} = E_2 \cdot \cos(\beta_2) \, \mathrm{d}A_2 \, \mathrm{d}\Omega_1 = \frac{E_2 \cdot \cos(\beta_1) \, \cos(\beta_2) \, \mathrm{d}A_1 \, \mathrm{d}A_2}{r^2}

wobei diesmal der von dA1 aufgespannte Raumwinkel dΩ1 = cos(β1)dA1 / r2 auftritt.

[Bearbeiten] Folgerung

Die von dA1 nach dA2 ausgesandte und die auf dA2 von dA1 empfangene Strahlungsleistung müssen identisch sein (sofern nicht in einem zwischen den Flächen liegenden Medium Strahlungsleistung durch Absorption oder Streuung verloren geht), und aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt:

\mathrm{d}^2 \Phi_{1\rightarrow2} = \mathrm{d}^2 \Phi_{2\leftarrow1} \ \Leftrightarrow \ L_1 = E_2 \,

Die von Fläche 1 ausgesandte Strahldichte ist identisch mit der auf Fläche 2 eintreffenden Bestrahlungsdichte.

Man beachte, dass die Strahldichte nicht mit dem Abstand abnimmt. Die gesamte übertragene Strahlungsleistung \Phi_{1\rightarrow2} bzw. \Phi_{2\rightarrow1} nimmt hingegen wie erwartet mit dem Quadrat des Abstandes ab (aufgrund des Faktors r2 im Nenner beider Gleichungen), dies liegt daran, dass der von der Senderfläche aufgespannte Raumwinkel aus Sicht der Empfängerfläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt. Das photometrische Äquivalent der Strahldichte ist die Leuchtdichte, welche bekanntlich ebenfalls für flächig erscheinende Lichtquellen unabhängig von deren Entfernung ist (eine nahe Plakatwand erscheint zwar größer aber nicht heller als eine identisch beleuchtete weiter entfernte).

Wird die Bestrahlungsdichte über den Raumwinkel integriert, aus dem sie stammt, so ergibt sich die Bestrahlungsstärke genannte Einstrahl-Leistungsdichte auf der Empfängerfläche in W/m2. Falls die Strahldichte der Senderfläche bekannt ist, so ist damit sofort auch die Bestrahlungsdichte der Empfängerfläche bekannt:

\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}A} = \int_{\Omega} E_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Omega} L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega

[Bearbeiten] Beispiel

Die Sonne ist in guter Näherung ein Schwarzer Strahler der Temperatur 5777 K. Sie erscheint von der Erde aus gesehen unter einem Raumwinkel von 0,000068 Steradian. Man berechne die daraus folgende Bestrahlungsstärke an der Erdoberfläche (senkrecht zur Sonnenstrahlung und ohne Berücksichtigung der absorbierenden Atmosphäre).

Gemäß dem planckschen Strahlungsgesetz beträgt die Strahldichte der Sonnenoberfläche L^0_{\Omega}(T) = 20,10\cdot10^6 \ \mathrm{W m^{-2} sr^{-1}}. Die Bestrahlungsdichte an der Erdoberfläche hat denselben Zahlenwert. Wird die von der Sonne herrührende Bestrahlungsdichte als über die Sonnenscheibe konstant angesehen, so reduziert sich die Integration über den von der Sonnenscheibe eingenommenen Raumwinkel auf eine Multiplikation der Bestrahlungsdichte mit dem Raumwinkel.

\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}A} = \int_{\Omega} E_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Omega} L_{\Omega}^0(T) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega \, \approx \, L_{\Omega}^0(T) \cdot \Omega

Es ergibt sich eine Bestrahlungsstärke von 20,10·106 W m-2 sr-1 × 0,000068 sr = 1367 W m-2, die Solarkonstante.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

  • Baehr H.D., Stephan K.: Wärme- und Stoffübertragung. 5. Auflage, Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32334-1. Kap. 5: Wärmestrahlung
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Strahldichte“
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