Strecke (Geometrie)
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Eine Strecke ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird; sie ist die kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte. Die Begrenzung einer Strecke durch diese Punkte unterscheidet sie von Geraden, die sich beidseitig ins Unendliche erstrecken, und von Strahlen (Halbgeraden), die auf einer Seite begrenzt sind.
Die in der Skizze verwendete Schreibweise [AB] drückt aus, dass es sich um eine Teilmenge der Geraden AB handelt, die durch die Punkte A und B begrenzt wird.
Die Strecke [AB] lässt sich mit Hilfe der Zwischen-Relation („... liegt zwischen ... und ...“) definieren: [AB] enthält alle Punkte der Geraden AB, die zwischen A und B liegen, sowie die Punkte A und B.
Unter der Länge der Strecke [AB] versteht man die Entfernung (den Abstand) der Punkte A und B. Diese Streckenlänge wird oft mit 
bezeichnet.
In der analytischen Geometrie entspricht die Strecke [AB] der Menge aller Punkte X, deren Ortsvektor 
gegeben ist durch
mit 
.
Dabei sind 
und 
die Ortsvektoren der Endpunkte A und B. λ ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung.
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[Bearbeiten] Definition
Ist 
ein Vektorraum über 
oder 
und 
eine Teilmenge von , so ist eine Strecke genau dann, wenn als ![L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}](http://upload.wikimedia.org/math/1/1/2/11258fa7f33e01a97f78ba558cf5c862.png)
parameterisiert werden kann, wobei 
zwei Vektoren sind und 
gelten muss. Dabei sind die Vektoren 
und 
die Endpunkte der Strecke 
Manchmal unterscheidet man zwischen offenen und abgeschlossenen Strecken. Dabei wird die abgeschlossene Strecke wie oben definiert. Eine offene Strecke ist eine Teilmenge , die als 
parameterisiert werden kann, wobei wie oben zwei Vektoren mit sind.
Eine alternative, äquivalente Definition ist wie folgt: Eine abgeschlossene Strecke ist die konvexe Hülle zweier verschiedenen Punkte.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Eine Strecke ist eine zusammenhängende, nicht leere Menge.
- Wenn V ein topologischer Vektorraum ist, ist die geschlossene Strecke eine abgeschlossene Menge in V. Jedoch ist eine offene Strecke eine offene Menge in V, wenn und nur wenn V eindimensional ist.
- Allgemeiner kann der Begriff der Strecke in der Ordnungsgeometrie definiert werden.
[Bearbeiten] Besondere Formen
- Kante - wenn die beiden Endpunkte die aneinander benachbarten Scheitelpunkte eines Vielecks sind
- Diagonale - wenn die beiden Endpunkte die aneinander nicht benachbarten Scheitelpunkte eines Vielecks sind
- Sehne - wenn die beiden Endpunkte auf einer Kurve, wie z.B. einem Kreis, liegen
Siehe auch: Geordnete Geometrie
[Bearbeiten] Literatur
- H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.10
- David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Teubner, Leipzig 1903, S.4
[Bearbeiten] Weblinks
- Eric W. Weisstein: Line Segment auf MathWorld (englisch)
- Strecke auf PlanetMath (englisch)
