Subdifferential

Das Subdifferential ist eine Verallgemeinerung des Gradienten.

Definition

Sei $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$. Das Subdifferential von $f$ im Punkt $\bar x$ ist gegeben durch:

$\partial f(\bar x)=\{g\in\mathbb{R}^n:f(x)-f(\bar x)\geq g^{T}(x-\bar x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^n\}$

Die Elemente $g\in\partial f(\bar x)$ heißen Subgradient.

Beispiel

Subgradienten einer konvexen Funktion

Das Subdifferential von der Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto|x|$ ist gegeben durch:

$\partial f(\bar x)=\begin{cases}\{-1\} & \bar x<0\\ \left[-1,1\right] & \bar x=0\\ \{1\} & \bar x>0\end{cases}$

Beschränktheit

Sei $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ stetig und sei $X\subset\mathbb{R}^n$ beschränkt. Dann ist die Menge $\bigcup_{\bar x\in X}\partial f(\bar x)$ beschränkt.

Beweis

Sei $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ stetig und sei $X\subset\mathbb{R}^n$ beschränkt. Setze $\varepsilon:=\sup |f(\overline{U_1(X)})|$ wobei $\overline{U_1(X)}=\{x\in\mathbb{R}^n\,|\,{\rm dist}(x,X)\leq1\}$. Angenommen $\bigcup_{\bar x\in X}\partial f(\bar x)$ ist nicht beschränkt, dann gibt es für $R:=2\varepsilon$ ein $\bar x\in X$ und ein $g\in\partial f(\bar x)$ mit $\|g\|_2>R=2\varepsilon$. Sei $x:=\frac{1}{\|g\|_2} g+\bar x$. Somit sind $\bar x,x\in\overline{U_1(X)}$. Wir erhalten die Abschätzung

$g^T(x-\bar x)=\frac{1}{\|g\|_2}g^T g=\|g\|_2 > 2\varepsilon\geq\left|f(x)-f(\bar x)\right|\geq f(x)-f(\bar x)$ .

$g$ ist also kein Subgradient. Das ist ein Widerspruch.

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