Einsteinsche Summenkonvention

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Die einsteinsche Summenkonvention ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrücke innerhalb des sogenannten Ricci-Kalküls und stellt eine Indexschreibweise dar. Dieser Kalkül wird in der Tensoranalysis, der Differentialgeometrie und insbesondere in der Theoretischen Physik verwendet. Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein eingeführt. Mit ihr werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Übersicht einfach weggelassen und stattdessen wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Motivation

In der Matrix- und Tensorrechnung werden oft Summen über Indizes gebildet. Das Matrixprodukt lautet in Komponenten beispielsweise für zwei n \times n -Matrizen:

(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}

Hier wird über den Index k von 1 bis n summiert. Treten mehrere Matrixmultiplikationen, Skalarprodukte oder andere Summen in einer Rechnung auf, kann dies schnell unübersichtlich werden. Mit der einsteinschen Summenkonvention lautet die Rechnung von oben dann:

(A \cdot B)_{ij} = A_{ik} B_{kj}

[Bearbeiten] Formale Beschreibung

Im einfachsten Fall der Summenkonvention gilt: Über doppelt auftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert. In der Relativitätstheorie gilt als zusätzliche Regel: Summiert wird nur, wenn der Index sowohl als oberer (kontravarianter) und als unterer (kovarianter) Index auftritt.

Die Summenkonvention verringert vor allem den Schreibaufwand. Teilweise hilft sie dabei, bestehende Zusammenhänge und Symmetrien hervorzuheben, die in der konventionellen Summenschreibweise nicht so leicht erkennbar sind.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Ohne Beachtung der Indexstellung

In den folgenden Beispielen stehen A,B für n \times n Matrizen mit Einträgen Aij,Bij und \vec x = \left( x_1, x_2, \dots , x_n \right), \vec y = \left( y_1, y_2, \dots , y_n \right) für dazu passende Vektoren.

  • Standardskalarprodukt \vec x \cdot \vec y = x_i y_i .
  • Anwendung einer Matrix auf einen Vektor: \left(A \vec x \right)_i = A_{ij} x_j
  • Produkt mehrerer (hier 4) Matrizen: (ABCD)ij = AiaBabCbcDdj.
  • Spur einer Matrix A: \text{Spur} \, A = A_{ii}

[Bearbeiten] Unter Berücksichtigung der Indexstellung

  • Das Produkt Cij zweier Tensoren mit Tensorkomponenten Aij und Bij ist Cij = AikBkj
  • Anwendung eines Tensors mit Komponenten Aij auf die Summe der Vektoren xi,yi um Vektor zi zu erhalten: z^i = A^i{}_j \left( x^j + y^j \right).

[Bearbeiten] Literatur

  • Albert Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen der Physik, Band 49 (354. Band der ganzen Reihe), S. 770-822, Barth, 1916.

[Bearbeiten] Siehe auch

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Einsteinsche_Summenkonvention“
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