Summenregel

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Die Summenregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Summe aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann.

Regel[Bearbeiten]

Die Funktionen g und h seien in einem gemeinsamen Intervall definiert, das die Stelle x_0 enthält. An dieser Stelle x_0 seien beide Funktionen differenzierbar. Dann ist auch die Funktion f mit

f(x) = g(x)\, + h(x)

an der Stelle x_0 differenzierbar, und es gilt

f'(x_0) = g'(x_0) + h'(x_0)\,.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Funktionen

\ g(x) = x^4
\ h(x) = x^3

sind auf \mathbb{R} differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen

\ g'(x) = 4x^3
\ h'(x) = 3x^2.

Daher ist auch die Funktion

\ f(x) = g(x) + h(x) = x^4 + x^3

auf \mathbb{R} differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

\ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 4 x^3 + 3 x^2.

Folgerungen[Bearbeiten]

  • Differenzregel: Betrachtet man die Differenz f=g-h=g+(-h) für Funktionen g und h, die in x_0 differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass f in x_0 differenzierbar ist und für die Ableitung f'(x)=g'(x)-h'(x) gilt.
  • Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind g_1, \ldots, g_n in x_0 \in \mathbb{R} differenzierbare Funktionen und c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R} reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination f(x) := \sum_{i=1}^nc_ig_i(x) wiederum in x_0 differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion
    f'(x_0) = \left(\sum_{i=1}^nc_ig_i\right)'(x_0) = \sum_{i=1}^nc_i {g_i}'(x_0).
  • Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9.

Weblinks[Bearbeiten]