Sylow-Sätze

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Die Sylow-Sätze (nach Ludwig Sylow) sind drei mathematische Sätze aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Sie erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und auch einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren.

Im Gegensatz zu endlichen zyklischen Gruppen kann man bei beliebigen endlichen Gruppen im Allgemeinen nichts über die Existenz und Anzahl von Untergruppen aussagen. Man weiß lediglich aus dem Satz von Lagrange, dass eine Untergruppe einer Gruppe G eine Ordnung hat, die Teiler der Ordnung von G ist. Die Sylowsätze liefern hier zusätzliche Aussagen, erlauben allerdings auch keine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen. Diese vollzieht sich über die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Neben Sylow (1872) gaben unter anderem Eugen Netto und Alfredo Capelli Beweise.

Die Sätze[Bearbeiten]

Sei im Folgenden G eine endliche Gruppe der Ordnung  |G|=p^rm , wobei p eine Primzahl, r>0 und m eine zu p teilerfremde natürliche Zahl seien. Eine Untergruppe von G der Ordnung p^r wird p-Sylowuntergruppe genannt (siehe p-Gruppe).

  1.  G hat eine Untergruppe der Ordnung p^r, also eine p-Sylowuntergruppe.
  2. Sei P<G eine p-Sylowuntergruppe. Dann enthält P von jeder Untergruppe U<G, die p-Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein g \in G mit gUg^{-1} \subseteq P.
  3. Die Anzahl der p-Sylowuntergruppen ist ein Teiler des Index m der p-Sylowuntergruppe von G und von der Form 1+kp mit k \in \N_0.

Folgerungen[Bearbeiten]

  • Ist G eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl p geteilt wird, so gibt es in G ein Element der Ordnung p.
  • Je zwei p-Sylowgruppen einer Gruppe G sind konjugiert (und damit isomorph).
  • Sei G eine Gruppe und P<G eine p-Sylowuntergruppe. Es gilt:
P ist Normalteiler von G \; \Leftrightarrow \; P ist die einzige p-Sylowuntergruppe von G.
  • Sei G eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl p geteilt wird. Ist G abelsch, so gibt es nur eine p-Sylowuntergruppe in G.

Beispiele[Bearbeiten]

Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch[Bearbeiten]

Sei G eine Gruppe der Ordnung  |G|=15=3 \cdot 5 . Bezeichnet man mit s_3 die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von G und mit s_5 die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von G, so gilt:

  1.  s_3 \equiv 1 \;\operatorname{mod}\; 3 und s_3 \mid 5 , also muss  s_3=1 gelten.
  2.  s_5 \equiv 1 \;\operatorname{mod}\; 5 und s_5 \mid 3 , also muss  s_5=1 gelten.

Also sind die 3-Sylowuntergruppe G_3 und die 5-Sylowuntergruppe G_5 Normalteiler von G. Als p-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen schneiden sie sich in \{e\}, wobei e \in G das neutrale Element von G bezeichnet. Daher ist ihr Komplexprodukt direkt. G>G_3\cdot G_5\simeq G_3\times G_5 (s. Komplementäre Normalteiler und direktes Produkt). Da das direkte Produkt die Ordnung 15 hat, folgt mit dem chinesischen Restsatz

 G \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} .

Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162[Bearbeiten]

Sei |G| = 162= 2\cdot 3^4 .

Aus  s_3 \equiv 1 \; \pmod{3} und  s_3 \mid 2 folgt  s_3=1

Also ist die 3-Sylowgruppe ein Normalteiler von G der Ordnung  3^4=81. Dieser Normalteiler kann somit weder die ganze Gruppe G sein, noch kann er nur aus dem neutralen Element bestehen. G ist also nicht einfach.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Beweis der Sylow-Sätze – Lern- und Lehrmaterialien