Symmetrischer Raum

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In der Mathematik sind symmetrische Räume eine Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einem besonders hohen Grad an Symmetrien.

Sie sind eine wichtige Klasse von Beispielen in Geometrie und Topologie und finden Anwendung unter anderem in Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Definition[Bearbeiten]

Eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit M ist ein symmetrischer Raum, wenn es zu jedem x\in M eine Spiegelung an x gibt, d.h. eine Isometrie S_x:M\rightarrow M mit S_x(x)=x und D_xS_x=-Id.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Der euklidische \mathbb R^n ist ein symmetrischer Raum, zu jedem x\in\mathbb R^n definiert man die Spiegelung S_x:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n durch
S_x(y)=2x-y.
  • Die Einheitssphäre S^n\subset \mathbb R^{n+1} ist ein symmetrischer Raum. Zu x,y\in S^n ist S_x(y)\in S^n der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Großkreis durch x und y, für den d(S_x(y),x)=d(y,x) sowie (falls x und y keine antipodalen Punkte sind) S_x(y)\not=y gilt.

Geodätische Symmetrie[Bearbeiten]

Sei \gamma:\mathbb R\rightarrow M eine Geodäte mit \gamma(0)=x. Aus D_xS_x=-Id folgt S_x(\gamma(t))=\gamma(-t) für alle t\in\mathbb R.

Umgekehrt kann man in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit lokal (in einer hinreichend kleinen Umgebung U eines Punktes x) eine geodätische Spiegelung S_x:U\rightarrow U durch S_x(\gamma(t))=\gamma(-t) definieren. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokalsymmetrisch, wenn S_x auf seinem Definitionsbereich eine Isometrie ist. Sie ist ein symmetrischer Raum, falls S_x eine Isometrie ist und sich auf ganz M definieren lässt.

Homogener Raum[Bearbeiten]

Jeder symmetrische Raum ist ein homogener Raum, d.h. von der Form G/H für eine zusammenhängende Lie-Gruppe G und eine kompakte Untergruppe H\subset G, so dass die Riemannsche Metrik unter der Links-Wirkung von G invariant ist. Cartan charakterisiert symmetrische Räume wie folgt: Sei G eine zusammenhängende Liegruppe, H\subset G eine kompakte Untergruppe und \sigma:G\rightarrow G ein Liegruppenhomomorphismus mit \sigma^2=Id sowie (G^\sigma)_0\subset H\subset G^\sigma. (Hier bezeichnet G^\sigma die Fixpunkte von \sigma und (G^\sigma)_0 die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements. \sigma heißt Cartan-Involution.) Dann trägt M=G/H eine G-invariante Riemannsche Metrik g und (M, g) ist ein symmetrischer Raum.

Cartan-Zerlegung[Bearbeiten]

Sei M=G/K ein symmetrischer Raum und \sigma:G\rightarrow G die Cartan-Involution. Seien \mathfrak g,\mathfrak k die Lie-Algebren von G,K.

Sei \theta=D_0\sigma:\mathfrak g\rightarrow\mathfrak g. Wegen \theta^2=1 sind \pm1 die einzigen Eigenwerte, \mathfrak k ist der Eigenraum zum Eigenwert 1. Wir bezeichnen mit \mathfrak{p} den Eigenraum zum Eigenwert -1, er entspricht dem Tangentialraum an G/K in \left[e\right]. Dann ist \mathfrak{g} = \mathfrak{k}+\mathfrak{p} und

[\mathfrak{k}, \mathfrak{k}] \subseteq \mathfrak{k}, [\mathfrak{k}, \mathfrak{p}] \subseteq \mathfrak{p}, [\mathfrak{p}, \mathfrak{p}] \subseteq \mathfrak{k}.

Die mit Hilfe der Killing-Form B definierte Form

B_\theta(X,Y):=B(X,\theta Y)

ist positiv semidefinit.

Umgekehrt gibt es zu einer Zerlegung \mathfrak{g} = \mathfrak{k}+\mathfrak{p} mit diesen Eigenschaften immer eine Involution \theta auf \mathfrak{g}, die +1 auf \mathfrak{k} und -1 auf \mathfrak{p} ist. Sei G die einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra \mathfrak g, dann gibt es zu \theta eine Involution \sigma:G\rightarrow G mit \theta=D_0\sigma und damit einen symmetrischen Raum M=G/K.

Beispiel[Bearbeiten]

\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)=\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak{p}

mit \mathfrak p=\left\{A\in \mathfrak{sl}(n,\mathbb C):A=\overline{A}^t\right\} ist eine Cartan-Zerlegung.

Typen symmetrischer Räume[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Ein symmetrischer Raum M=G/K ist von kompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf \mathfrak g negativ semidefinit ist.

Ein symmetrischer Raum M=G/K ist von euklidischem Typ, wenn \mathfrak p abelsch ist.

Ein symmetrischer Raum M=G/K ist von nichtkompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf \mathfrak g nicht-ausgeartet, aber nicht negativ semidefinit und \mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p eine Cartan-Zerlegung ist. (In diesem Fall ist G halbeinfach und K\subset G eine maximal kompakte Untergruppe.)

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Sphäre S^n=SO(n+1)/SO(n) ist ein symmetrischer Raum von kompaktem Typ.
  • Der euklidische Raum ist ein symmetrischer Raum von euklidischem Typ, ebenso der n-dimensionale Torus.
  • Der hyperbolische Raum H^n=SO(n,1)/SO(n) ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. SL(n,\mathbb R)/SO(n) und SL(n,\mathbb C)/SU(n) sind symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ.

Produkt-Zerlegung[Bearbeiten]

Ein symmetrischer Raum heißt irreduzibel, wenn er sich nicht als Produkt zweier nichttrivialer symmetrischer Räume zerlegen lässt. Jeder symmetrische Raum lässt sich als Produkt irreduzibler symmetrischer Räume von kompaktem, euklidischem und nichtkompaktem Typ zerlegen.

Schnittkrümmung[Bearbeiten]

Symmetrische Räume von kompaktem Typ haben Schnittkrümmung \ge 0, symmetrische Räume von euklidischem Typ haben Schnittkrümmung 0, symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ haben Schnittkrümmung \le 0.

Symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ sind CAT(0)-Räume und zusammenziehbar.

Dualität[Bearbeiten]

Der symmetrische Raum M=G_1/K mit \mathfrak g_1=\mathfrak k\oplus \mathfrak p ist von kompaktem Typ genau dann, wenn der symmetrische Raum M=G_2/K mit \mathfrak g_1=\mathfrak k\oplus i\mathfrak p\subset \mathfrak g\otimes\mathbb C von nichtkompaktem Typ ist.

Beispiele:

  • Der hyperbolische Raum ist dual zur Sphäre.
  • SL(n,\mathbb R)/SO(n) ist dual zu (SO(n)\times SO(n))/SO(n)=SO(n).

Rang[Bearbeiten]

Der Rang eines symmetrischen Raumes M ist definiert als

rk(M):=max\left\{dim(F): F\subset T_xM,x\in M, sec\mid_F\equiv 0\right\},

d.h. die Dimension eines maximalen Unterraumes, auf dem die Schnittkrümmung verschwindet.

Beispiel: rk(SL(n,\mathbb R)/SO(n))=n-1.

Symmetrische Räume vom Rang 1[Bearbeiten]

Die einzigen nichtkompakten symmetrischen Räume mit rk(M)=1 sind

Die einzigen kompakten symmetrischen Räume vom Rang 1 sind die

Klassifikation[Bearbeiten]

Es gibt eine vollständige Klassifikation symmetrischer Räume. Im Fall kompakter symmetrischer Räume ergibt sich folgende Tabelle

Label G K Dimension Rang
AI \mathrm{SU}(n)\, \mathrm{SO}(n)\, (n-1)(n+2)/2 n − 1
AII \mathrm{SU}(2n)\, \mathrm{Sp}(n)\, (n-1)(2n+1) n − 1
AIII \mathrm{SU}(p+q)\, \mathrm{S}(\mathrm{U}(p) \times \mathrm{U}(q))\, 2pq min(p,q)
BDI \mathrm{SO}(p+q)\, \mathrm{SO}(p) \times \mathrm{SO}(q)\,  pq min(p,q)
DIII \mathrm{SO}(2n)\, \mathrm{U}(n)\,  n(n-1) [n/2]
CI \mathrm{Sp}(n)\, \mathrm{U}(n)\,  n(n+1) n
CII \mathrm{Sp}(p+q)\, \mathrm{Sp}(p) \times \mathrm{Sp}(q)\,  4pq min(p,q)
EI E_6\, \mathrm{Sp}(4)/\{\pm I\}\, 42 6
EII E_6\, \mathrm{SU}(6)\cdot\mathrm{SU}(2)\, 40 4
EIII E_6\, \mathrm{SO}(10)\cdot\mathrm{SO}(2)\, 32 2
EIV E_6\, F_4\, 26 2
EV E_7\, \mathrm{SU}(8)/\{\pm I\}\, 70 7
EVI E_7\, \mathrm{SO}(12)\cdot\mathrm{SU}(2)\, 64 4
EVII E_7\, E_6\cdot\mathrm{SO}(2)\, 54 3
EVIII E_8\, \mathrm{Spin}(16)/\{\pm vol\}\, 128 8
EIX E_8\, E_7\cdot\mathrm{SU}(2)\, 112 4
FI F_4\, \mathrm{Sp}(3)\cdot \mathrm{SU}(2)\, 28 4
FII F_4\, \mathrm{Spin}(9)\, 16 1
G G_2\, \mathrm{SO}(4)\, 8 2

Die Klassifikation symmetrischer Räume von nichtkompaktem Typ ergibt sich aus der Klassifikation kompakter symmetrischer Räume mit dem Dualitätsprinzip.

Literatur[Bearbeiten]

  • Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
  • Cheeger, Jeff; Ebin, David G.: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5
  • Helgason, Sigurdur: Geometric analysis on symmetric spaces. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 39. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4530-1
  • Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1

Weblinks[Bearbeiten]