Symplektische Gruppe

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Die symplektische Gruppe ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Die symplektische Gruppe in 2n Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem Cn. Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe Sp(n) wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Definition[Bearbeiten]

Für jedes n \in \mathbb{N} und jeden Körper F mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe Sp_{2n}(F) eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(2n,F).

Sp_{2n}(F) \colon= \left\{ T \in GL_{2n}(F)\mid\, T^{\text{T}}\,I_n\,T=I_n\right\}

mit


 I_n= \begin{pmatrix} 
    0 & E_n \\ 
    -E_n & 0 
  \end{pmatrix}

wobei E_n die n\times n Einheitsmatrix und 0 die n x n Nullmatrix bezeichnet.

Für F\in\left\{\R,\C,\H\right\} ist Sp(n,F) eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von Sp(2n, F) ist

sp(2n,F)=\left\{A\in Mat(2n,F): I_n A + A^T I_n = 0\right\}.

Kompakte symplektische Gruppe[Bearbeiten]

Die kompakte symplektische Gruppe Sp(n) ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum \H^n definierte Skalarprodukt

\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. Sp(n) ist aber die kompakte reelle Form von Sp(2n,\C).

Sp(n) ist eine n(2n+1)-dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra sp(n) ist

 sp(n)=\left\{A\in Mat(n,\H): A+A^\dagger=0\right\},

wobei A^\dagger die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\C).

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

MathWorld: Symplectic Group