Symplektischer Vektorraum

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Ein symplektischer Vektorraum oder kurz symplektischer Raum ist in der linearen Algebra ein Vektorraum zusammen mit einer symplektischen Form, das heißt einer nichtausgearteten alternierenden Bilinearform. Während die symmetrische Bilinearform „Skalarprodukt“ die Länge von Vektoren misst, betrifft die alternierende Bilinearform die Flächengröße des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Definition[Bearbeiten]

Ein symplektischer Vektorraum über einem Körper K ist ein Vektorraum V zusammen mit einer Bilinearform \langle{-},{-}\rangle\colon V\times V\to K, die die folgenden beiden Eigenschaften besitzt:

  • \langle{-},{-}\rangle ist alternierend, das heißt \langle v,v\rangle=0 für alle v\in V
  • \langle{-},{-}\rangle ist nicht ausgeartet, das heißt für jedes 0\ne v\in V existiert ein w\in V mit \langle v,w\rangle\ne0\,.

Eine Bilinearform mit diesen beiden Eigenschaften wird auch symplektische Form genannt. Wegen

0=\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle+\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle+\langle w,w\rangle=\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle

wechselt die alternierende Form bei Vertauschung ihrer Argumente ihr Vorzeichen.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Eine wichtige Klasse symplektischer Räume bilden die hyperbolischen Ebenen: Ist V zweidimensional mit Basis {v,w}, und gilt \langle v,w\rangle=1, so heißt V oder das Tripel (V,v,w) eine hyperbolische Ebene. Es gilt dann
\langle av+bw,cv+dw\rangle=ad-bc.

Klassifikation symplektischer Räume[Bearbeiten]

Jeder endlichdimensionale symplektische Vektorraum hat gerade Dimension 2n, und es gibt eine Basis \{e_1,\ldots,e_n,f_1,\ldots,f_n\} mit

\langle e_i,e_j\rangle = 0
\langle f_i,f_j\rangle = 0
\langle e_i,f_j\rangle = \delta_{ij} (Kronecker-Symbol).

Insbesondere sind alle symplektischen Räume der Dimension 2n isometrisch. e_i und f_i spannen für jedes i eine hyperbolische Ebene auf, der ganze symplektische Raum ist also eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen. In der Physik werden die Elemente ei und fi als „kanonisch-konjugiert“ bezeichnet (z.B. Orts- bzw. Impuls-Variablen) und das symplektische Skalarprodukt ist identisch mit der sogenannten Poisson-Klammer.

Die Automorphismen eines symplektischen Raumes bilden die symplektische Gruppe.

Symplektische Mannigfaltigkeit[Bearbeiten]

Symplektische Vektorräume sind die Grundlage für den Begriff der symplektischen Mannigfaltigkeit, der eine Rolle im Hamilton-Formalismus spielt.[1] Genauso wie die symplektischen Vektorräume werden auch die symplektischen Mannigfaltigkeiten kurz symplektische Räume genannt. Analog zur symplektischen Bilinearform gibt es auf diesen Mannigfaltigkeiten ebenfalls symplektische Formen, hierbei handelt es spezielle Differentialformen, die eine Verallgemeinerung der alternierenden Bilinearformen darstellen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Rolf Berndt: An Introduction to Symplectic Geometry (= Graduate Studies in Mathematics 26). American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2056-7.
  • Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics 211). Revised 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X, Chapter XV, § 8.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics (= Graduate Texts in Mathematics 60). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-96890-3.