T1-Raum

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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T1-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das T1-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition[Bearbeiten]

Sei X ein topologischer Raum. X heißt T1-Raum, falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein T1-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

  • X ist ein T1-Raum.
  • X ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R0-Raum.
  • Alle einpunktigen Mengen in X sind abgeschlossen.
  • Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
  • Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
  • Jeder Elementarfilter zu einem beliebigen x konvergiert nur gegen x.
  • Für jede Teilmenge S von X gilt, dass ein Element x aus X genau dann ein Häufungspunkt von S ist, wenn jede offene Umgebung von x unendlich viele Elemente enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum, genau in einem T0-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann T1 erfüllt, wenn er sowohl ein R0-Raum und ein T0-Raum ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T1. Um das zu sehen betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate (c_1,\ldots c_n). Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome X-c_1,\ldots,X-c_n. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z}. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt O_A = \Z \setminus A mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge O_{\{y\}} ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält O_{\{x\}} das Element y aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T1-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T2-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt O_{A}\cap O_{B} = O_{A\cup B}, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T2-Raum nie der Fall sein kann.

Literatur[Bearbeiten]