Tangens und Kotangens

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen werden unter Tangens (Begriffsklärung) aufgeführt
Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)
Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels x wird mit \tan x\ bezeichnet, der Kotangens des Winkels x mit \cot x . In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen \mathrm{tg}\,x für den Tangens und \mathrm{ctg}\,x\ für den Kotangens.

Definition[Bearbeiten]

Historisch/geometrisch[Bearbeiten]

Definition am Einheitskreis:
\overline{DT} = \tan b\ ;\ \overline{EK} = \cot b

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung "Kotangens" entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.[1]

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

\overline{DT} = \tan b \qquad\qquad \overline{EK} = \cot b
Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels \alpha das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

\begin{align}
\tan \alpha&=\frac{l_{\rm Gegenkathete}}{l_{\rm Ankathete}}=\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\\
\cot \alpha&=\frac{l_{\rm Ankathete}}{l_{\rm Gegenkathete}} = \frac{b}{a} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\end{align}

Daraus folgt unmittelbar:

\begin{align}
\cot\alpha &= \frac{1}{\tan\alpha}\\
\tan\alpha &= \frac{1}{\cot\alpha}
\end{align}

sowie

\tan\alpha = \cot\beta = \cot(90^\circ-\alpha).

Formal – mit Definitions- und Wertebereich[Bearbeiten]

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

\tan\colon D\to W, mit \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}

definiert werden,[2] wobei der Wertebereich W je nach Anwendung die reellen \R oder die komplexen Zahlen \mathbb C sind. Um zu verhindern, dass der Nenner \cos x Null wird, werden beim Definitionsbereich D die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

D=\R\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\}

im Reellen bzw.

D=\mathbb C\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\}

im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch

\cot\colon D\to W, mit \cot x:=\frac{\cos x}{\sin x}

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich

D=\R\setminus\left\{k\pi, k\in\mathbb Z\right\}

im Reellen bzw.

D=\mathbb C\setminus\left\{k\pi, k\in\mathbb Z\right\}

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner \sin x ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von \tan und \cot

\mathbb C\setminus\left\{\frac{k\pi}2, k\in\mathbb Z\right\}

gilt

\cot x = \frac 1{\tan x}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis

Periodizität[Bearbeiten]

Periodenlänge \pi (halbe Drehung): \tan(x+\pi) = \tan(x)

Monotonie[Bearbeiten]

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien[Bearbeiten]

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

\tan(-x) = -\tan x \qquad\qquad \cot(-x) = -\cot x

Nullstellen[Bearbeiten]

Tangens: x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}

Polstellen[Bearbeiten]

Tangens: x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}

Wendestellen[Bearbeiten]

Tangens: x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber keine Sprungstellen oder Extrema.

Wichtige Funktionswerte[Bearbeiten]

Tangens Kotangens Ausdruck num. Wert
\tan0^\circ \cot90^\circ 0 0
\tan15^\circ \cot75^\circ 2 - \sqrt3 0.2679491…
\tan22{,}5^\circ \cot67{,}5^\circ \sqrt2-1 0,4142135…
\tan30^\circ \cot60^\circ \tfrac13\sqrt3 0,5773502…
\tan45^\circ \cot45^\circ 1 1
\tan60^\circ \cot30^\circ \sqrt3 1,7320508…
\tan67{,}5^\circ \cot22{,}5^\circ \sqrt2+1 2,4142135…
\tan75^\circ \cot15^\circ 2 + \sqrt3 3.7320508…
\lim_{\alpha \to 90^\circ} \tan\alpha \lim_{\alpha \to 0^\circ} \cot\alpha \pm\infty\, Polstelle

Umkehrfunktion[Bearbeiten]

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens
\tan\colon\left(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right)\to\R.

Ihre Umkehrfunktion

\operatorname{arctan}\colon\R\to\,\left(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right)

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens
\cot\colon(0,\,\pi)\to\R.

Ihre Umkehrfunktion

\operatorname{arccot}\colon\R\to\,(0,\,\pi)

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung[Bearbeiten]

Tangens für |x| < ½π (im Bogenmaß)
Tangens
Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 (Maclaurinsche Reihe) lautet für |x|<\frac{\pi}{2}[3]
\begin{align}
  \tan x &= x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\dotsb\\
         &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} \cdot 2^{2n} \cdot \left(2^{2n} -1\right) \cdot B_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1}.
\end{align}

Dabei sind mit B_n die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens
Die Laurent-Reihe lautet für 0<|x|<\pi[4]
\begin{align}
\cot x &= \frac 1x - \frac 13x - \frac 1{45}x^3 - \frac 2{945}x^5 - \frac 1{4725}x^7 - \dotsb\\
         &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1}.
\end{align}

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für x\in\mathbb C\setminus\mathbb Z

\begin{align}
  \pi\cot\pi x &= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{x+k}+\frac1{x-k}\right)\\
               &= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}.
\end{align}

Ableitung[Bearbeiten]

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cot x = -1 - \cot^2 x = -\frac1{\sin^2x}=- \csc^2 x

Die n-ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\tan x=\frac{\psi_n(\tfrac12+\tfrac{x}{\pi})-(-1)^n\,\psi_n(\tfrac12-\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{n+1}}
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\cot x=\frac{(-1)^n\,\psi_n(1-\tfrac{x}{\pi})-\psi_n(\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{n+1}}

Stammfunktionen[Bearbeiten]

Tangens
\int \tan (ax+b)\ \mathrm dx = - \frac{\ln|\cos (ax+b)|}{a}+C    mit    ax + b \ne (2k +1)\frac{\pi}{2}    (k \in \mathbb{Z})
Kotangens
\int \cot (ax+b)\ \mathrm dx = \frac{\ln|\sin (ax+b)|}{a}+C    mit    ax + b \ne k\pi    (k \in \mathbb{Z})

Komplexes Argument[Bearbeiten]

\tan(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)}
  mit x,y \in \mathbb{R}
\cot(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-\sin(2x)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}
  mit x,y \in \mathbb{R}

Additionstheoreme[Bearbeiten]

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

\tan(x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\tan y}\,, \qquad \cot(x \pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}

Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt

\tan x+\tan y+\tan z=\tan x \tan y \tan z

bzw.

\cot x \cot y+\cot y \cot z+\cot z \cot x=1,

wenn x+y+z ein Vielfaches von \pi ist.

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}\,,\qquad\cot(2x)=\frac{\cot^{2}x-1}{2\cot x}

(Ko-)Tangens-Darstellung von Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

Die Sinus- und die Kosinusfunktion lassen sich durch Tangens- bzw. Kotangensfunktionen ausdrücken:

\sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^{2}\alpha}}
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}=\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^{2}\alpha}}

Dies lässt sich mit Hilfe folgender Rechnung nachvollziehen:

1+\tan^{2}\alpha=\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=\frac{1}{1-\sin^{2}\alpha}
1+\cot^{2}\alpha=\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}+\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{1}{\sin^{2}\alpha}=\frac{1}{1-\cos^{2}\alpha}

Dabei wurde \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1 ausgenutzt. Auflösen nach \sin\alpha bzw. \cos\alpha liefert obige Relationen.

Rationale Parametrisierung[Bearbeiten]

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist t=\tan\frac\alpha2, so ist

\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}.

Insbesondere ist

\R\to\R^2,\quad t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes (-1,0) (der dem Parameter t=\infty entspricht). Einem Parameterwert t entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von (-1,0) und (1,2t) mit dem Einheitskreis.

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel[Bearbeiten]

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion f\colon\R\to\R,\;x\mapsto mx + c besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse entspricht genau der Steigung m der Geraden, d. h. m = \tan\,\alpha.

Bei negativer Steigung (m<0) gilt: m = -\tan\alpha.

Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist der Tangens des Steigungswinkels.

Anwendung in der Physik[Bearbeiten]

Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form \dot{v} = -g - k v^2 mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0. Dann ergibt sich:

v(t) = v_g \cdot \cot(\sqrt{gk}t + c) mit c = {\rm arccot}\left(\frac{v(0)}{v_g}\right) > 0 ,

wobei v_g = \sqrt{\frac{g}{k}} die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:

v(t) = - v_g \cdot \tan(\sqrt{gk}t - c') mit c' = {\rm arctan}\left(\frac{v(0)}{v_g}\right) > 0 .

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn v = 0 ist, das heißt für t = \frac{\pi/2 - c}{\sqrt{gk}} = \frac{c'}{\sqrt{gk}}), daran anschließend muss man den Tangens Hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

Differentialgleichung[Bearbeiten]

Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung

w' = 1+w^2.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

w' = 1+w^2= (w+\mathrm i)(w-\mathrm i)

mit der imaginären Einheit \mathrm i. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte \mathrm i, -\mathrm i: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen \mathrm i und -\mathrm i Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikiversity: Tangens und Kotangens – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.. Hölder-Pichler-Tempsky, 2. Auflage, Wien 1977. ISBN 3-209-00159-6, S. 223.
  2. Per Dreisatz ist sin/cos = tan/1.
  3. Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 4.3.67
  4. Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 4.3.70