Teilerfremdheit

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Zwei natürliche Zahlen a und b sind teilerfremd oder relativ prim (a \perp b), wenn es keine natürliche Zahl außer der Eins gibt, die beide Zahlen teilt. Oder anders ausgedrückt: wenn zwei natürliche Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren aufweisen, sind sie teilerfremd. Aus dieser Definition folgt, dass jede natürliche Zahl teilerfremd zu 1 ist, auch die Zahl 1 selbst. Ein Bruch zweier teilerfremden Zahlen kann folglich nicht gekürzt werden.

Zum Nachweis der Teilerfremdheit berechnet man gewöhnlich den größten gemeinsamen Teiler: zwei Zahlen sind genau dann teilerfremd, wenn 1 deren größter gemeinsamer Teiler ist.

Mehr als zwei natürliche Zahlen bezeichnet man als paarweise teilerfremd, wenn je zwei beliebige davon zueinander teilerfremd sind, und als teilerfremd, wenn es keinen Primfaktor gibt, den alle dieser Zahlen gemeinsam haben. Zahlen, die paarweise teilerfremd sind, sind auch stets teilerfremd. Die umgekehrte Schlussrichtung gilt nicht, denn beispielsweise sind 6, 10, 15 teilerfremd, aber nicht paarweise teilerfremd (z.B. da ggT(10, 15)=5).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Zahlen 12 und 77 sind teilerfremd, denn ihre Primfaktorzerlegungen 12 = 2 · 2 · 3 und 77 = 7 · 11 enthalten keine gemeinsamen Primfaktoren.
  • Die Zahlen 15 und 25 sind nicht teilerfremd, denn in ihren Primfaktorzerlegungen 15 = 3 · 5 und 25 = 5 · 5 kommt jeweils die 5 vor, die zugleich ggT(15, 25) ist.
  • Die Zahlen 9, 17, 64 sind paarweise teilerfremd, denn alle drei Paare 9 und 17, 17 und 64, 9 und 64 sind teilerfremd.

Offensichtlich sind zwei unterschiedliche Primzahlen immer teilerfremd, da sie nur sich selbst als Primfaktor haben. Andere Beispiele teilerfremder Zahlen sind zwei Zahlen, deren Differenz 1 ist, oder zwei ungerade Zahlen, deren Differenz 2 ist.

Teilerfremdheit kommt, häufig als Bedingung, in vielen zahlentheoretischen Problemen vor. Zum Beispiel ist eine Voraussetzung für den Chinesischen Restsatz, dass die Moduln teilerfremd sind. Die Eulersche φ-Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen in \{1, ..., n\} zu.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Teilerfremdheit ist eine binäre Relation

\mbox{Teilerfremdheit} = \left\{ \left(a,b\right)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ \vert\ \operatorname{ggT}(a, b) = 1 \right\}

Diese Relation ist nicht transitiv, denn beispielsweise sind 2 und 3 teilerfremd sowie 3 und 4, aber nicht 2 und 4.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte ganze Zahlen a und b teilerfremd sind, ist

P(\operatorname{ggT}(a, b) = 1) = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\,%,

wobei \zeta die Riemannsche ζ-Funktion und \pi die Kreiszahl ist. Dieser Satz wurde erstmals 1881 von Ernesto Cesàro bewiesen.[1]

Allgemein ist 1 / (r^n\text{ }\zeta(n)) die asymptotische Dichte von n-Tupeln mit größtem gemeinsamen Teiler r.[2]

Teilerfremdheit in Ringen[Bearbeiten]

Das Konzept der Teilerfremdheit lässt sich von den natürlichen Zahlen auf kommutative Ringe mit Einselement übertragen. In einem solchen Ring sind die Einheiten Teiler aller Elemente. Zwei Elemente des Rings heißen teilerfremd, wenn die Einheiten ihre einzigen gemeinsamen Teiler sind.

Im Ring der ganzen Zahlen sind beispielsweise die Zahlen 2 und −3 teilerfremd, da ihre einzigen gemeinsamen Teiler die Einheiten 1 und −1 sind.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76490-8, S. 19f., S. 51f.
  2. Eckford Cohen: Arithmetical functions associated with arbitrary sets of integers (PDF-Datei, 2,1 MB), Acta Arithmetica 5, 1959, S. 407–415 (englisch; Errata, PDF-Datei, 327 kB; Aussage ist „Corollary 3.3“ auf S. 413)