Teilersumme

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Unter der Teilersumme σ einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also 1+2+3+6 = 12.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen[Bearbeiten]

Definition 1: Summe aller Teiler[Bearbeiten]

Seien t_1, t_2, ..., t_k alle Teiler der natürlichen Zahl n, dann nennt man \sigma(n) = t_1+t_2+...+t_k die Teilersumme von n. Dabei sind 1 und n selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion σ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

Definition 2: Summe der echten Teiler[Bearbeiten]

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler von n ohne die Zahl n selbst und wir bezeichnen diese Summe mit \sigma^*(n).

Beispiel:

\sigma^*(6) = 1+2+3 = 6

Offensichtlich gilt die Beziehung:

\sigma(n)-n = \sigma^*(n)

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen[Bearbeiten]

Eine natürliche Zahl n > 1 heißt

defizient oder teilerarm, wenn \sigma^*(n) < n,
abundant oder teilerreich, wenn \sigma^*(n) > n,
vollkommen, wenn \sigma^*(n) = n.

Beispiele:

\sigma^*(6) = 1+2+3=6, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
\sigma^*(12) = 1+2+3+4+6 = 16 > 12, d. h. 12 ist abundant.
\sigma^*(10) = 1+2+5 = 8 < 10, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme[Bearbeiten]

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl[Bearbeiten]

Sei n eine Primzahl. Dann gilt:

\sigma(n) = n+1

Beweis: Da n eine Primzahl ist, sind 1 und n die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl[Bearbeiten]

Sei n eine Primzahl. Dann gilt:

\sigma(n^k) = \frac{n^{k+1}-1}{n-1}

Beweis: Da n eine Primzahl ist, lauten die Teiler von nk: n0, n1, …, nk. Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

\sigma(2^3) = {{2^4-1} \over {2-1}} = {{16-1} \over 1} = 15
\sigma(8) = 1+2+4+8 = 15

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen[Bearbeiten]

Seien a und b verschiedene Primzahlen. Dann gilt:

\sigma(a\cdot b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)

Beweis: Die Zahl ab besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, a, b und ab. Daraus folgt:

\sigma(a \cdot b) = 1 + a + b + ab = (a+1)(b+1) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)

Beispiel:

\sigma(3 \cdot 5) = \sigma(15) = 1+3+5+15 = 24
\sigma(3) \cdot \sigma(5) = (1+3) \cdot (1+5) = 4 \cdot 6 = 24

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3[Bearbeiten]

Seien p_1, p_2, ..., p_r verschiedene Primzahlen und k_1, k_2, ..., k_r natürliche Zahlen. Ferner sei n = 
p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot\ldots\cdot p_r^{k_r}. Dann gilt:


\sigma(n) = \frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1} \cdot\ldots\cdot \frac{p_r^{k_r+1}-1}{p_r-1}

Satz von Thabit[Bearbeiten]

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl n seien x = 3·2n-1, y = 3·2n-1-1 und z = 9·22n-1-1.

Wenn x, y und z Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2n·x·y und b = 2n·z befreundet, d. h. \sigma^*(a) = b und \sigma^*(b) = a.

Beweis:

σ*(a) = σ(a) - a
= σ(2n·x·y) - a
= (2n+1-1)(x+1)(y+1) - a (Satz 4)
= (2n+1-1)(3·2n)(3·2n-1) - 2n(3·2n-1)(3·2n-1-1)
= (2n+1-1)·9·22n-1 - 2n(9·22n-1-6·2n-1-3·2n-1+1)
= 2·2n·9·22n-1-9·2n·2n-1-2n(9·22n-1-9·2n-1+1)
= 2n(18·22n-1-9·2n-1-9·22n-1+9·2n-1-1)
= 2n(9·22n-1-1)
= 2n·z
= b

Analog zeigt man \sigma^*(b) = a.

Teilersumme als endliche Reihe[Bearbeiten]

Für jede natürliche Zahl n kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von n explizit Bezug genommen wird:

\sigma(n) =\sum_{\mu=1}^n\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}}

Beweis: Die Funktion

T(n,\mu) = \frac{1}{\mu}\sum_{\nu=1}^\mu\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu},\quad n=1,2,\dots, \quad \mu=1,2,\dots

wird 1, wenn \mu ein Teiler von n ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt

T(n,\mu) = \frac{1}{\mu}\lim_{x \to n} \sum_{\nu=1}^\mu\cos 2\pi \frac{\nu x}{\mu} =
                  \lim_{x \to n} \frac{1}{2\mu}\left(\sin 2\pi x \cot\frac{\pi x}{\mu} - 1 +\cos 2\pi x\right)
           = \lim_{x \to n} \frac{\sin 2\pi x  \cos\frac{\pi x}{\mu}}{2\mu\sin\frac{\pi x}{\mu}}

Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn x\to n geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn \mu ein Teiler von n ist. Dann ist aber


\lim_{x \to n} \frac{\sin 2\pi x \cos\frac{\pi x}{\mu}}{2\sin\frac{\pi x}{\mu}} = \cos\frac{\pi n}{\mu} \lim_{x \to n} \frac{\sin 2\pi x }{2\sin\frac{\pi x}{\mu}}
\;=\; \cos\frac{\pi n}{\mu} \lim_{x \to n} \frac{2\pi \cos 2\pi x }{2\frac{\pi}{\mu}\cos\frac{\pi x}{\mu}}
\;=\; \mu

Nur in diesem Fall wird T(n,\mu)=1, wie oben behauptet.

Multipliziert man jetzt T(n,\mu) mit \mu^k und summiert das Produkt über alle Werte \mu=1 bis \mu=n, so entsteht nur dann ein Beitrag \mu^k zur Summe, wenn \mu ein Teiler von n ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Divisorfunktion


\sigma_k(n) =\sum_{\mu=1}^n\mu^{k-1}\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}},\quad k=0,\pm 1,\dots

deren Spezialfall k=1 die einfache Teilersumme \sigma(n) ist.

Siehe auch[Bearbeiten]