Tensoralgebra

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Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie fasst "alle Tensoren" über einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen.

Definition[Bearbeiten]

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Dann ist die Tensoralgebra (als Menge) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selber.

\mathrm TV=\bigoplus_{n\geq0}V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus(V\otimes V)\oplus(V\otimes V\otimes V)\oplus\ldots

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird \mathrm TV zu einer \N-graduierten, unitären, assoziativen Algebra.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

Ist A eine assoziative K- Algebra mit einem Einselement e, sowie f:V\to A eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus \tilde{f} : TV \to A, so dass das Diagramm

Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra


kommutiert. Dieser Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch \tilde{f}(v_1\otimes\dots\otimes v_r) = f(v_1)\dots f(v_r) sowie \tilde{f}(\lambda) = \lambda e.

Diese universelle Eigenschaft zeigt, dass T ein Funktor von der Kategorie der K-Vektorräume in die Kategorie der K-Algebren ist. Der Funktor T bildet

f : V \to A

auf

T(f) = \tilde{f} : T(V) \to A

ab.

Beispiel[Bearbeiten]

Ist V ein n-dimensionaler K-Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang n), so ist \mathrm TV isomorph zur freien assoziativen Algebra über K in n Unbestimmten.

Quotientenräume der Tensoralgebra[Bearbeiten]

Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra, die Äußere Algebra oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.