Tensorprodukt

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Dieser Artikel behandelt das Tensorprodukt von Vektorräumen und von linearen Abbildungen. Für das Tensorprodukt von Tensoren (Tensormultiplikation) siehe Tensor.

Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: in der linearen Algebra und der Differentialgeometrie dient es der Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts


\underbrace{V\otimes\dots\otimes V}_{r\text{ Faktoren}}
\otimes
\underbrace{V^*\otimes\dots\otimes V^*}_{s\text{ Faktoren}}

(für einen Vektorraum V mit Dualraum V^*, oft V=\R^3) als Tensoren, kontravariant der Stufe r und kovariant der Stufe s. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ (r,s).

Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Tensorprodukt von Vektorräumen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Sind V und W zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper K, so ist das Tensorprodukt

 V\otimes W

ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist E=\{e_i\mid i\in I\} eine Basis von V und F=\{f_j\mid j\in J\} eine Basis von W, dann ist V\otimes W ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

E\times F=\{(e_i,f_j)\mid i\in I, j\in J\}

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann. Die Dimension von V\otimes W ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von V und W. Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar (e_i,f_j) entspricht, wird als e_i\otimes f_j notiert. Das Symbol \otimes hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Ein beliebiges Element des Tensorprodukts V \otimes W hat dann die Gestalt

\sum_{(i,j)\in I_0\times J_0} c_{ij}\;(e_i\otimes f_j),

wobei I_0 \subset I und J_0 \subset J endliche Teilmengen der Indexmengen I und J sind und c_{ij} \in K für jedes i \in I_0 und j \in J_0.

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus V und W definieren, welches mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren e_i\in E\subset V und f_j\in F\subset W gerade der Basisvektor, der mit e_i\otimes f_j\in V\otimes W bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren kann nun durch bilineare Fortsetzung erhalten werden,

v=\sum_{i\in I_0}a_ie_i\in V

und

w=\sum_{j\in J_0}b_jf_j\in W

mit I_0\subset I,\;J_0\subset J endlich wird das Produkt

v\otimes w=\sum_{(i,j)\in I_0\times J_0} a_ib_j\;(e_i\otimes f_j)

zugeordnet.

Endlichdimensionaler Fall[Bearbeiten]

Für endlichdimensionale Vektorräume V und W kann das Tensorprodukt direkt als Raum von Matrizen konstruiert werden. Die Zeilen werden mit dem Basisindex I=\{1,\dots,m\} von V nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex J=\{1,\dots,n\} von W. Das Tensorprodukt zweier Vektoren v\in V,\;w\in W ist diejenige Matrix, deren Eintrag an der Stelle (i,j) die i-te Koordinate von v mal der j-ten Koordinate von w ist. Die Spalten sind Vielfache von v, die Zeilen sind Vielfache von w. (In der Sprache der Matrizen nennt sich diese Konstruktion auch dyadisches Produkt.)

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten folgende Rechenregeln für alle v \in V, w \in W und \lambda \in K:

  •  (v'+v'')\otimes w = v'\otimes w + v''\otimes w
  •  v\otimes(w' + w'') = v\otimes w' + v\otimes w''
  •  (\lambda v)\otimes w = \lambda\cdot(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)

Mit anderen Worten: Die Abbildung \otimes \colon V \times W \to V \otimes W; (v,w) \mapsto v \otimes w ist bilinear. Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt.

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für v \in V, w \in W gehören die Vektoren

 v\otimes w \in V\otimes W und w\otimes v \in W\otimes V

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume V und W identisch sind; und selbst dann muss keine Gleichheit gelten.

Tensorprodukt linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Es seien

f\colon V_1\to W_1, g\colon V_2\to W_2

zwei lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Ihr Tensorprodukt f\otimes g ist die lineare Abbildung

f\otimes g\colon V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2

definiert durch

[f\otimes g](v\otimes w):=f(v)\otimes g(w)\ \forall\ v\in V_1,w\in V_2.

Sind V_1,W_1,V_2,W_2 endlich-dimensional, dann kann man nach Wahl von Basen (e_1,e_2,\ldots, e_n) für V_1, (e_1^\prime,e_2^\prime,\ldots, e_m^\prime) für W_1, (f_1,f_2,\ldots, f_r) für V_2 und (f_1^\prime,f_2^\prime,\ldots, f_p^\prime) für W_2 die linearen Abbildungen f und g durch ihre Abbildungsmatrizen

A = M^{V_1}_{W_1}(f), B = M^{V_2}_{W_2}(g)

beschreiben. Die lineare Abbildung f\otimes g wird dann bzgl. der Basen (e_1\otimes f_1,e_1\otimes f_2,\ldots,e_n\otimes f_r) und (e_1^\prime\otimes f_1^\prime,e_1^\prime\otimes f_2^\prime,\ldots,e_m^\prime\otimes f_p^\prime) von V_1\otimes V_2 und W_1\otimes W_2 durch das Kronecker-Produkt

A\otimes B

der Matrizen A und B beschrieben. Sind beispielsweise V_1=W_1=V_2=W_2=\R^2 mit der Standardbasis und f und g gegeben durch die Matrizen

A=\begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} \\ 
    a_{21} & a_{22} \\ 
  \end{bmatrix} und B=\begin{bmatrix} 
    b_{11} & b_{12} \\ 
    b_{21} & b_{22} \\ 
  \end{bmatrix},

dann ist f\otimes g gegeben durch das Kronecker-Produkt


A\otimes B=  \begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} \\ 
    a_{21} & a_{22} \\ 
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix} 
    b_{11} & b_{12} \\ 
    b_{21} & b_{22} \\ 
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix} 
    a_{11}  \begin{bmatrix} 
              b_{11} & b_{12} \\ 
              b_{21} & b_{22} \\ 
            \end{bmatrix} & a_{12}  \begin{bmatrix} 
                                      b_{11} & b_{12} \\ 
                                      b_{21} & b_{22} \\ 
                                    \end{bmatrix} \\ 
     & \\
    a_{21}  \begin{bmatrix} 
              b_{11} & b_{12} \\ 
              b_{21} & b_{22} \\ 
            \end{bmatrix} & a_{22}  \begin{bmatrix} 
                                      b_{11} & b_{12} \\ 
                                      b_{21} & b_{22} \\ 
                                    \end{bmatrix} \\ 
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix} 
    a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} \\ 
    a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} \\ 
    a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} \\ 
    a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} \\ 
  \end{bmatrix}.

Universaldefinition[Bearbeiten]

Bisher wurde die Frage umgangen, welcher Natur denn der mit V\otimes W bezeichnete Vektorraum im allgemeinen Fall ist. Die bisher angegebenen Forderungen an diesen Vektorraum können kondensiert und in mathematischer Sicht unzweideutig in Form einer Universaldefinition angegeben werden.

Als Tensorprodukt der Vektorräume V und W, d. h. als Vektorraum, in welchem die Tensorprodukte von Vektoren aus V und W „leben“, wird jeder Vektorraum X (über dem gemeinsamen Skalarenkörper von V und W) bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung \phi\colon V\times W\to X gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede weitere bilineare Abbildung B\colon V\times W\to Y faktorisiert linear eindeutig über \phi. Dies heißt exakter, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung \tilde B\colon X\to Y gibt, so dass für beliebige Paare von Vektoren gilt:
B(v,w)=\tilde B(\phi(v,w)).

Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig, d. h. für jede andere bilineare Abbildung \phi'\colon V\times W\to X' mit der universellen Eigenschaft gibt es einen Isomorphismus k\colon X\to X', so dass \phi'=k\circ \phi gilt. Es wird X=V \otimes W und \phi(v,w)=v \otimes w notiert. Die universelle Eigenschaft kann also als B(v,w)= \tilde B(v \otimes w) geschrieben werden, oft verzichtet man auf die Vergabe unterschiedlicher Bezeichnungen, da der Definitionsbereich aus dem Argument ablesbar ist.

Um nun tatsächlich Vektorräume anzugeben, die diese Definition erfüllen, gibt es zwei übliche Wege. Einmal im endlichdimensionalen Fall über den Raum der Bilinearformen auf den Dualräumen, wie im Folgenden angegeben, und zum anderen durch die Konstruktion eines einfach anzugebenden, aber zu großen Raumes, von dem ein Quotientenraum nach einem geeigneten Unterraum die Eigenschaften des Tensorproduktes erhält. Die letztgenannte Konstruktion wird weiter unten im Kontext von Moduln über Ringen ausgeführt.

Natürliche Homomorphismen[Bearbeiten]

Aus der Universaldefinition folgt, dass der Vektorraum B(V,W;X) der bilinearen Abbildungen V\times W\to X kanonisch isomorph zum Vektorraum L(V\otimes W,X) der linearen Abbildungen V\otimes W\to X ist:

Es sei B\colon V \times W \to X eine bilineare Abbildung. Dann kann man zeigen, dass durch

V\otimes W\to X,\qquad v\otimes w\mapsto B(v,w)

eine lineare Abbildung definiert wird.

Ist umgekehrt

\lambda\colon V\otimes W\to X

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

 V\times W\to X,\qquad (v,w)\mapsto \lambda(v\otimes w)

bilinear.

Weiterhin gibt es einen natürlichen Monomorphismus L(V,X)\otimes L(W,Y)\to L(V\otimes W,X\otimes Y), definiert durch (f\otimes g)(v\otimes w):=f(v)\otimes g(w). Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn V oder W endlich-dimensional ist.[1]

Durch Currying erhält man außerdem einen Isomorphismus B(V,W;X)\cong L(V,L(W,X)).

Für endlichdimensionale Vektorräume und X=Y=K gilt also

V^*\otimes W^*\cong(V\otimes W)^*\cong B(V,W;K)\cong L(V,W^*),

wobei z. B. V^* der Dualraum von V ist und der Isomorphismus K\otimes K\cong K verwendet wird. Allgemein ist K\otimes V\to V, definiert durch c\otimes v\mapsto cv, ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Ersetzt man W durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation W\cong W^{**} mit dem Bidualraum, so erhält man einen Isomorphismus V^*\otimes W\to L(V,W), definiert durch (f\otimes w)(v):=f(v)w. Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlich-dimensional sind, hat man nur einen natürlichen Monomorphismus.[2]

Tensorprodukt und Bilinearformen[Bearbeiten]

Aus der Universaldefinition folgt (V\otimes W)^*\cong B(V,W;K). Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume kann man das Tensorprodukt von V und W also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen V\times W\to K definieren.

Ein Grund, weshalb man nicht statt des Tensorproduktes mit dem Raum der Bilinearformen arbeitet, ist der folgende: Multilinearformen, also beispielsweise Abbildungen

U\times V\times W\to K

für drei K-Vektorräume U, V, W, die linear in jeder Komponente sind, entsprechen linearen Abbildungen

U\otimes V\otimes W\to K,

aber es gibt keine ähnlich einfache Möglichkeit, Räume von Multilinearformen durch Räume von Bilinearformen auszudrücken; dabei bezeichnet

U\otimes V\otimes W

die Räume

U\otimes(V\otimes W) bzw. (U\otimes V)\otimes W,

die mithilfe von

u\otimes(v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w

kanonisch identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht dem Umstand, dass man aus einer Multilinearform

U \times V\times W\to K

einerseits durch Festhalten des Argumentes aus U eine Bilinearform

V\times W\to K,

andererseits durch Festhalten des Argumentes aus W eine Bilinearform

U\times V\to K

erhalten kann.

Erweiterung der Skalare[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum über K und L ein Erweiterungskörper von K, so kann man das Tensorprodukt

V_L:=V\otimes_KL

bilden, indem man auch L als K-Vektorraum auffasst; dies wird durch \otimes_K symbolisiert. VL wird zu einem Vektorraum über L, wenn man

\lambda\cdot(v\otimes\mu):=v\otimes(\lambda\mu)\qquad\mathrm{f\ddot ur}\ v\in V,\lambda,\mu\in L

setzt. Die Dimension von VL als L-Vektorraum ist gleich der Dimension von V als K-Vektorraum: ist {ei} eine K-Basis von V, so bildet die Menge

\{e_i\otimes 1\}

eine L-Basis von VL.

Tensorprodukt von Darstellungen[Bearbeiten]

Es seien

\rho_i:G\to GL(V_i), i=1,\ldots,n

Darstellungen einer Gruppe auf Vektorräumen über demselben Körper, dann definiert

\rho_1\otimes\ldots\otimes\rho_n(g)(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)=\rho_1(g)v_1\otimes\ldots\otimes \rho_n(g)v_n, \forall g\in G, v_i\in V_i

eine Darstellung

\rho_1\otimes\ldots\otimes \rho_n:G\to GL(V_1\otimes\ldots\otimes V_n)

auf dem Tensorprodukt.

Tensorprodukt über einem Ring[Bearbeiten]

Sei R ein Ring (mit 1, aber nicht notwendigerweise kommutativ). Sei M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul. Das Tensorprodukt (M \otimes_R N, \otimes_R) über R ist definiert durch eine abelsche Gruppe

M \otimes_R N

zusammen mit einer bilinearen Abbildung

  
\begin{matrix}
\otimes_{R} : & M \times N & \to     & M \otimes_{R} N\\
              & (m,n)      & \mapsto & m \otimes_{R} n,
\end{matrix}

die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Tensor product of modules1.png
Zu jeder abelschen Gruppe G und jeder bilinearen Abbildung
g \, \colon M \times N \to G\,
mit
 g(mr,n) = g(m,rn) \qquad (m \in M, r \in R, n \in N)
gibt es einen Gruppen-Homomorphismus
 g_\otimes : M \otimes_R N \to G     mit      g_\otimes \circ \otimes_R = g
und dieser ist eindeutig bestimmt.

Mithilfe der universellen Eigenschaft wird ein bis auf Isomorphie eindeutig bestimmtes Tensorprodukt definiert.

Die Grundkonstruktion[Bearbeiten]

Allerdings ist damit noch nicht die Existenz bewiesen. Diese beweist man, in dem man die abelsche Gruppe M\otimes_RN wie folgt konstruiert:

Man betrachtet den von allen Paaren (x,y)\in M\times N erzeugten freien \Z-Modul F und den dazugehörigen Untermodul Q, der durch alle Elemente

  • (m_1 + m_2, n) - (m_1, n) - (m_2, n) \qquad (m_1,m_2\in M;\ n\in N)
  • (m,n_1+n_2) - (m, n_1) - (m, n_2) \qquad (m\in M;\ n_1,n_2\in N)
  • (mr, n) - (m, rn) \qquad(m\in M;\ n\in N;\ r\in R)

erzeugt wird.

M\otimes_R N ist dann definiert durch den Quotienten von F nach Q, in Zeichen:

M\otimes_R N:= F / Q

Spezialfälle[Bearbeiten]

  • Ist M ein S-R-Bimodul mit einem weiteren Ring S, so ist
M\otimes_RN
ein S-Linksmodul.
  • Ist R kommutativ, so ist
M\otimes_RN
ein R-Modul; die Moduloperation ist gegeben durch
r(m\otimes n)=(rm)\otimes n=m\otimes(rn).
Die Moduln
M\otimes_RN und N\otimes_RM
sind kanonisch isomorph.
A\otimes_RN
ein A-Linksmodul; die Moduloperation ist gegeben durch
b(a\otimes n)=(ba)\otimes n für a, b in A.
  • Ist R ein kommutativer Ring, und sind A und B assoziative R-Algebren, so ist
A\otimes_RB
wieder eine assoziative R-Algebra; die Multiplikation ist gegeben durch
(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) = (a_1a_2) \otimes (b_1b_2).

Kategorielle Eigenschaften[Bearbeiten]

Verschiedene Varianten des Tensorproduktes besitzen rechtsadjungierte Funktoren:

  • Ist R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul, N ein R-Linksmodul und P eine abelsche Gruppe, so gilt:
\mathrm{Hom}_{\mathbf Z}(M\otimes_RN,P)=\mathrm{Hom}_R(M,\mathrm{Hom}_{\mathbf Z}(N,P));
dabei ist HomZ(N,P) ein R-Rechtsmodul via
(f\cdot r)(n)=f(rn)\quad\mathrm{f\ddot ur}\ f\in\mathrm{Hom}_{\mathbf Z}(N,P), r\in R, n\in N.
  • Ist R ein Ring, S eine R-Algebra, M ein R-Linksmodul und N ein S-Linksmodul, so gilt:
\mathrm{Hom}_S(S\otimes_RM,N)=\mathrm{Hom}_R(M,N).
  • Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und M, N, P drei R-Moduln, so gilt:
\mathrm{Hom}_R(M\otimes_R N,P)=\mathrm{Hom}_R(M,\mathrm{Hom}_R(N,P)).

Insbesondere ist das Tensorprodukt ein rechtsexakter Funktor.

Das Tensorprodukt ist der Pushout in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement; insbesondere ist für einen kommutativen Ring R mit Eins das Tensorprodukt über R das Koprodukt (für endlich viele Objekte) in der Kategorie der R-Algebren.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Ist R ein Ring, I ein zweiseitiges Ideal und M ein R-Linksmodul, so ist
M/IM = M\otimes_R R/I.
  • \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/\mathrm{ggT}(m,n)\mathbb{Z}
  • \mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/n\mathbb Z=0
  • Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist
R[X]\otimes_RR[Y]=R[X,Y].
  • Lokalisierungen von Moduln sind Tensorprodukte mit den lokalisierten Ringen, also ist beispielsweise
\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=\mathbb{Q}.
  •  R[X]=R\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[X]

Struktur der Elemente[Bearbeiten]

Elementare Tensoren[Bearbeiten]

Ein elementarer Tensor bzw. reiner Tensor im Tensorprodukt  M \otimes_R N ist ein Element von der Form  m \otimes n , wobei  m\in M,\,\, n\in N .

Allgemeine Gestalt[Bearbeiten]

Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich nicht jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.

Zum Beispiel ist der Tensor  e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1 kein elementarer Tensor im Tensorprodukt  \mathbb{R}^2\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^2 , wobei  e_i die Standardbasisvektoren sind.

Ist R ein kommutativer Ring und M ein von einem Element erzeugter R-Modul, dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts  M \otimes_R N ein elementarer Tensor für jeden beliebigen R-Modul N.

Weiterführende Begriffe[Bearbeiten]

In der Algebra:

In der Differentialgeometrie:

In der Funktionalanalysis

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Gottfried Köthe: Topological Vector spaces I (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 159). 2. Auflage. Springer, New York 1969 (Originaltitel: Topologische Lineare Räume I, übersetzt von D. J. H. Garling), ISBN 0387045090, § 9. The algebraic dual space. Tensor products, 7. Linear mappings of tensor products, S. 80.
  2.  Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3540642439, § 4. Relations between tensor products and homomorphism modules, 2., S. 271 (Internet Archive).