Tensorverjüngung

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Die Tensorverjüngung oder Kontraktion[1] ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra. Es ist eine Verallgemeinerung der Spur einer linearen Abbildung auf Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind.

Definition[Bearbeiten]

Sei  V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

T^r_s (V) := \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{s\text{-mal}}

der Tensorraum der r-fach kontravarianten und s-fach kovarianten Tensoren (kurz: (r,s)-Tensoren) über V.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: (k,l)-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

 C^k_l: T^{r}_{s} (V) \rightarrow T^{r-1}_{s-1}(V)

mit  1 \le k \le r und 1 \le l \le s , welche durch

 v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} \mapsto
 \xi_l (v_k) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_{k-1} \otimes v_{k+1} \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{l-1} \otimes \xi_{l+1} \otimes \cdots \otimes \xi_{s})

definiert werden kann. Dabei ist  v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} natürlich ein Element von T^r_s(V). Nicht jedes Element von T^r_s(V) ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man n := r+s, so wird also aus einem Tensor n-ter Stufe ein Tensor der Stufe n - 2.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix  A \in \operatorname {End}(V) \cong V \otimes V^* als Linearkombination
    A = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}
    darstellt. Hier bilden die v_i eine Basis von V und die \xi_j die dazu duale Basis von V^*. Wendet man nun die Funktion C^1_1 an, so erhält man
    C^1_1(A) = C^1_1(\sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}) = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \delta_{ij} = \sum_i \lambda^i_i = \operatorname {Spur}(A).
    Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
  • Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor R^l_{ijk} durch Verjüngung den Ricci-Tensor R_{ik} = R^j_{ijk}.

Literatur[Bearbeiten]

  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Ulrich E. Schröder: Spezielle Relativitätstheorie. Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-1724-8, S. 51.