Ternärsystem

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Das Ternärsystem, auch Dreiersystem genannt, ist ein Stellenwertsystem zur Basis 3. Es kommt in zwei Spielarten vor, als gewöhnliches Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und 2 sowie als balanciertes Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und -1.

Eine ternäre Ziffer wird auch als Trit (in Analogie zum Bit) bezeichnet. Im Jahr 1958 wurde in der Sowjetunion der Setun-Computer entwickelt, der mit ternären Zahlen rechnete.

gewöhnlich[Bearbeiten]

Eine Zahl wird im gewöhnlichen Ternärsystem durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und 2 dargestellt. Da Verwechslungen mit anderen Zahlendarstellungen, besonders mit dem Dezimalsystem auftreten können, wird eine Ternärzahl durch eine angehängte tiefgestellte 3 gekennzeichnet. Die einer Ternärzahl entsprechende Dezimalzahl kann wie im folgenden Beispiel errechnet werden:


[112]_3 = 1 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = [14]_{10}

Löst man die Potenzen auf, dann sieht die Gleichung so aus:


[112]_3 = 1 \cdot 9 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = [14]_{10}

Die entsprechende, allgemeine Formel lautet

Z = \sum_{i=-n}^m z_i \cdot 3^i

Hierbei ist z_i die Ternärziffer an der Stelle i (also entweder 0, 1 oder 2), n die Anzahl der Nachkommastellen und m die Nummer der höchsten Stelle. Z ist dann das Ergebnis, also der Wert der Ternärzahl. Diese Formel ist das gleiche wie die erste und die zweite lineare Formel im Artikel, nur eben anders dargestellt.

Weitere Beispiele von Zahlen im Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

  • 123 = 5
  • 1123 = 14
  • 1213 = 16

Man kann Zahlen im gewöhnlichen ternären System, wie Zahlen in anderen Stellenwertsystemen auch, zum Verständnis gut in einer Tabelle darstellen. Die Ziffer in einem Feld gibt an, wie oft die Zahl des Spaltennamens gezählt wird. Steht zum Beispiel in einem Feld der Spalte "3" eine "2", so muss man "3+3" oder "2∙3" rechnen, bei "1" unter "27" einfach "1∙27". Am Ende zählt man alle Einzelergebnisse der Zwischenrechnungen ("2∙3", "1∙27") zusammen und erhält die dezimale Zahl. Nullen die links der ersten 1 oder 2 stehen (führende Nullen), werden in der üblichen Schreibweise (Spalte zusammengesetzte Ternärzahl) nicht aufgeschrieben.

Zahl in Dezimal 27 (33) 9 (32) 3 (31) 1 (30) zusammengesetzte Ternärzahl
32 1 0 1 2 1012
46 1 2 0 1 1201
3 0 0 1 0 10
7 0 0 2 1 21
5 0 0 1 2 12
14 0 1 1 2 112

balanciert[Bearbeiten]

Eine Zahl im balancierten Ternärsystem wird durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und -1 dargestellt. Die Ziffer -1 wird in diesem Artikel durch 1 wiedergegeben, eine andere Wiedergabe ist eine vertikal gespiegelte Ziffer 1. Falls Verwechslungen auftreten können, wird eine balancierte Ternärzahl durch ein angehängtes tiefgestelltes "3bal" gekennzeichnet.

Beispiele für Zahlen im balancierten Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

  • 1113bal = 5
  • 1103bal = 6

Im balancierten Ternärsystem braucht man keine Vorzeichen. Um zur negativen Zahl überzugehen, vertauscht man alle Ziffern 1 mit 1 und alle Ziffern 1 mit 1.

  • 1113bal = -5

Auch hier kann man, wie für das gewöhnliche Ternärsystem gezeigt, die entsprechende Dezimalzahl ausrechnen:


[1\underline{1}0]_{3bal} = 1 \cdot 3^2 + \left(-1\right) \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = [6]_{10}

Potenzen aufgelöst:


[1\underline{1}0]_{3bal} = 1 \cdot 9 + \left(-1\right) \cdot 3 + 0 \cdot 1 = [6]_{10}

Vergleich mit dem Dezimalsystem und dem Binärsystem[Bearbeiten]

Ternärsystem
Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Binär 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100
Ternär 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202
Ternär (balanciert) 0 1 11 10 11 111 110 111 101 100 101 111 110 111 1111 1110 1111 1101 1100 1101 1111

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]