Tetrakishexaeder

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3D-Ansicht eines Tetrakishexaeders (Animation)

Das Tetrakishexaeder (aus griechisch τετράκις tetrakis „viermal“ und Hexaeder „Sechsflächner“), auch Pyramidenwürfel oder Disdyakishexaeder (δίς dis „zweimal“ und δυάκις dyakis „zweimal“), ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Oktaederstumpf und hat 14 Ecken sowie 36 Kanten.

Entstehung[Bearbeiten]

Werden auf die sechs Begrenzungsflächen eines Würfels (Kantenlänge a) quadratische Pyramiden mit der Flankenlänge b aufgesetzt, entsteht ein Tetrakishexaeder, sofern die Bedingung \tfrac{a}{2}\sqrt{2}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{3} erfüllt ist.

  • Für den zuvor genannten minimalen Wert von b haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich der Würfel mit der Kantenlänge a übrig bleibt.
  • Das spezielle Tetrakishexaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn b = \tfrac{3}{4}\,a ist.
  • Nimmt b den o. g. maximalen Wert an, entartet das Tetrakishexaeder zu einem Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge b.
  • Überschreitet b den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln[Bearbeiten]

Allgemein \tfrac{a}{2}\sqrt{2}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{3}[Bearbeiten]

Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a, b
Volumen V = a^2 \left(a + \sqrt{4b^2 - 2a^2}\right)
Oberflächeninhalt A_O = 6a \sqrt{4b^2-a^2}
Pyramidenhöhe k = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2-2a^2}
Inkugelradius \rho  = \frac{a \left(a+\sqrt{4b^2-2a^2}\right)}{2\sqrt{4b^2-a^2}}
Flächenwinkel
 (über Kante a)
 \cos \, \alpha_1 = \frac{2a \sqrt{4b^2-2a^2}}{a^2-4b^2}
Flächenwinkel
 (über Kante b)
 \cos \, \alpha_2 = \frac{a^2}{a^2-4b^2}

Speziell b = \tfrac{3}{4}\,a[Bearbeiten]

Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a
Volumen V = \frac{3}{2}\,a^3
Oberflächeninhalt A_O = 3a^2 \sqrt{5}
Pyramidenhöhe k = \frac{a}{4}
Inkugelradius \rho = \frac{3}{10}\,a \sqrt{5}
Kantenkugelradius r = \frac{a}{2} \sqrt{2}
Flächenwinkel
 ≈ 143° 7' 48"
 \cos \, \alpha = -\frac{4}{5}

Anwendung[Bearbeiten]

  • In der Natur kommt das Tetrakishexaeder z. B. als Kristallform von Fluorit vor.
  • Das Tetrakishexaeder wird auch als Spielwürfel (W24) verwendet.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Tetrakishexaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien