Theil-Index

Der Theil-Index wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt und dient zur statistisches Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Definition

Für $n$ Personen mit Einkommen $y_1,...,y_n$ ist das Durchschnitteinkommen $\mu= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$ und es werden Theil-Indices $T_L, T_T, T_S$ unter der Annahme $0 \cdot \ln{0} = 0$ wie folgt definiert:

$T_T=T_{\alpha=1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\mu} \cdot \ln{\frac{y_i}{\mu}} \right)$

$T_L=T_{\alpha=0}=MLD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \ln{\frac{\mu}{y_i}} \right)$

$T_S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left[\frac{1}{2}\left(\frac{y_i}{\mu} - 1\right)\ln(y_i) \right]$

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

$T_L(y)=T_T\left(\frac{1}{y}\right)$

$T_S=\frac{T_T+T_L}{2}$

$0\leq T_L$

$T_L=0$ gdw. $T_T=0$ gdw. $T_S=0$ gdw. $y_i=\mu$ für alle $i$

$T_T=\ln(n)$ gdw. $y_i=n\mu$ für ein $i$

$T_S(y)=T_S\left(\frac{1}{y}\right)$

Beziehungen/Ableitungen

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist $S$ das Shannons-Maß, so gilt

$T=\ln(N)-S$.

$e^T$ ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß $(1-e^T)$.

Zerlegbarkeit

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in $m$ Untergruppen aufgeteilt werden kann und $s_k$ der Einkommensanteil einer Untergruppe $k$ am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt $T_k$ die Ungleichverteilung in der Untergruppe und $\overline{x}_k$ ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe $k$. Der Theil-Index $T_k$ ist dann

$T = \sum_{k=1}^m s_k T_k + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}$.

So beschrieben, ist der Theil-Index $T_k$ dann der "Beitrag" der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

Ein populäreres Maß ist der Gini-Koeffizient, aber in den Reichtums- und Armutsberichten des Bundes wird auch der Theil-Index neben dem Gini-Koeffizienten verwendet. Der Gini-Koeffizient ist nicht so zerlegbar wie der Theil-Koeffizient.

Literatur

• Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis In: Econometrica, Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, ISSN 0012-9682, S. 67–87 (JSTOR)

Weblinks

• Introduction to the Theil index from the University of Texas