Theorema egregium

Das Theorema egregium ist ein Satz aus der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er wurde von Carl Friedrich Gauß gefunden und in knapper Formulierung lautet er:

Die Gaußsche Krümmung einer Fläche $S \subset R^3$ ist eine Größe der inneren Geometrie von $S$.

Dabei ist die gaußsche Krümmung eine der wichtigsten Krümmungsgrößen in der klassischen Differentialgeometrie.

Geschichte

Während Gauß in den Jahren 1821 bis 1825 das Königreich Hannover vermessen hatte, vermutete er, dass sich die Krümmung der Erdoberfläche allein durch die Längen- und Winkelmessung bestimmen lässt. Tatsächlich brauchte Gauß noch einige Zeit, um diese Aussage zu beweisen. Auch war sein Beweis alles andere als unkompliziert und einfach. Aus diesem Grunde bezeichnete er den Satz als egregium Theorema, „hervorragend wichtigen Lehrsatz“.

Einordnung in die moderne Differentialgeometrie

Die Differentialgeometrie hat durch Gauß wesentliche Impulse erfahren. Das führte dazu, dass später die von Gauß betrachtete Krümmung auch gaußsche Krümmung genannt wurde. Außerdem kann man sich überlegen, dass die Längen- und Winkelmessung auf einer Fläche durch die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ebendieser induziert wird. In der Sprache der Differentialgeometrie lautet die Aussage des Theorema egregium:

Die gaußsche Krümmung hängt lediglich von den Koeffizienten der Matrix der ersten Fundamentalform und deren ersten und zweiten Ableitungen ab.

In diesem Sinne ist die gaußsche Krümmung eine Größe der inneren Geometrie, also der Geometrie, die nur von der ersten Fundamentalform induziert wird. Weitere Größen der inneren Geometrie sind die Längenmessung einer Kurve der Fläche, der Flächeninhalt und auch die geodätische Krümmung einer Kurve.

Herleitung

Gauß selbst hat diesen Satz, wie bereits erwähnt, erst nach einer langwierigen Rechnung ermitteln können. Später konnte man diese Rechnungen wesentlich vereinfachen. Beispielsweise gilt die Formel von Brioschi:

$K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left( \left|\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\ F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{pmatrix}\right| - \left|\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\ \frac{1}{2}E_v & E & F\\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{pmatrix}\right| \right)$

Dabei sind $E$, $F$ und $G$ die Koeffizienten der ersten Fundamentalform bezüglich einer Parametrisierung $(u,v) \mapsto \varphi(u,v)$. Die Bezeichnungen $E_u$, $F_{uv}$ usw. stehen für ersten und zweiten partiellen Ableitungen nach den Parametern $u$ und $v$, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Formel wird bewiesen durch Anwendung der Definition der gaußschen Krümmung, der Multiplikationsformel für Determinanten und einer raffinierten Darstellung der höheren Ableitungen des Ortsvektors der Fläche durch Koeffizienten der ersten Fundamentalform.

Das Theorema egregium folgt daraus offenbar als Korollar.

Literatur

• Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa superficies curvas (Allgemeine Untersuchungen über gekrümmte Flächen; 8. Oktober 1827), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 6 (classis mathematicae), 1828, S. 99–146 (beginnend S. 313 im eingescannten Dokument), und Dieterich, Gottingae (Göttingen) 1828 (lateinisch; Theorema egregium auf S. 120 oder S. 24: [1]; auch in Carl Friedrich Gauß: Werke. Band 4, S. 219–258, Theorema egregium auf S. 237)
• Wilhelm Blaschke, Kurt Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 1. Springer, Berlin 1973, ISBN 0-387-05889-3.
• Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06253-X.
• Manfred P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Vieweg, Braunschweig 1993, ISBN 3-528-27255-4.

Weblinks

• Mathematik – ein geistiges Auge des Menschen Zum historischen Hintergrund aus einem Vortrag von Eberhard Zeidler auf der DMV-Tagung von 2006
• Die Seite auf MathWorld