Tobit-Modell

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Das Tobit-Modell ist ein auf James Tobin zurückgehendes ökonometrisches Modell zur Analyse beschränkt abhängiger Variablen (censored variables). Da die abhängige Variable nur auf einem bestimmten Wertebereich existiert, sind normale Regressionskoeffizienten nicht die bestmöglichen Schätzer, sodass die Schätzfunktion korrigiert werden muss. Diese Korrektur ist im Tobit-Modell implementiert.

Modell[Bearbeiten]

Mit dem Tobit-Modell wird der Zusammenhang zwischen einer nicht-negativen abhängigen Variable y_i und einer unabhängigen Variablen (oder einem Vektor) x_i beschrieben. Das Modell geht davon aus, dass es eine latente (d. h. nicht beobachtbare) Variable y_i^* gibt. Diese Variable ist linear abhängig von x_i über einen Parameter (oder Vektor) \beta, der wie bei einer linearen Regression den Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variable (oder dem Vektor) x_i und der latenten Variablen y_i^* bestimmt.

Darüber hinaus gibt es einen normalverteilten Fehlerterm u_i, um Zufallseinflüsse auf diesen Zusammenhang zu erfassen.

Die beobachtbare Variable y_i ist per Definition gleich der latenten Variable, wann immer die latente Variable größer als Null ist. Ansonsten ist sie Null.

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* >0 \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \leq 0
\end{cases}

wobei y_i^* eine latente Variable darstellt:

 y_i^* = 
       \beta x_i + u_i, u_i \sim N(0,\sigma^2)

Parameterschätzung[Bearbeiten]

Falls der Zusammenhangsparameter \beta über eine herkömmliche Regression der beobachteten Variable  y_i auf  x_i geschätzt wird, ist der resultierende ordinary least squares estimator inkonsistent. Amemiya (1973) hat bewiesen, dass der Wahrscheinlichkeitsschätzer, der von Tobin für dieses Modell vorgeschlagen wurde, konsistent ist.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Das Tobit-Modell ist ein Spezialfall eines censored regression model, weil die latente Variable y_i^* nicht immer beobachtet werden kann, während die unabhängige Variable x_i beobachtbar ist. Eine verbreitete Variante des Tobit-Modells besteht darin, eine Variable auf einen von Null verschiedenen Wert  y_L zu beschränken:

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* >y_L \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \leq y_L.
\end{cases}

Ein anderes Beispiel betrifft die Beschränkung auf Werte über  y_U.

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* <y_U \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \geq y_U.
\end{cases}

Ein weiteres Modell resultiert, wenn  y_i gleichzeitig von oben und von unten beschränkt wird.

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_L<y_i^* <y_U \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \leq y_L \quad \text{oder} \quad y_i^* \geq y_U.
\end{cases}


Solche Verallgemeinerungen werden typischerweise ebenfalls als Tobit-Modelle bezeichnet. Je nach dem, wo und wann die Beschränkung erfolgt, resultieren weitere Varianten des Tobit-Modells. Takshi Amemiya klassifiziert diese Varianten in fünf Kategorien (Tobit type I–Tobit type V), wobei Tobit type I für das oben beschriebene Modell steht.[1] Schnedler liefert eine allgemeine Formel, um konsistente Wahrscheinlichkeitsschätzer für diese und andere Varianten des Tobit-Modells zu erzielen.[2]

Literatur[Bearbeiten]

  1.  Takeshi Amemiya: Advanced Econometrics. Harvard University Press, Cambridge 1985, ISBN 0-674-00560-0, S. 360 ff.
  2. Schnedler, Wendelin (2005). „Likelihood estimation for censored random vectors“. Econometric Reviews 24 (2),195–217.
  • Amemiya, Takeshi (1973). „Regression analysis when the dependent variable is truncated normal“. Econometrica 41 (6), 997–1016.
  • Tobin, James (1958). „Estimation of relationships for limited dependent variables“. Econometrica 26 (1), 24–36.

Weblink[Bearbeiten]