Topologie (Mathematik)

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Die Topologie (gr. τόπος, tópos, „Ort“, „Platz“ und -logie) ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Objekte, die unter stetigen Deformationen erhalten bleiben. Solche Deformationen kann man sich im Wesentlichen als Streckungen vorstellen. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor.

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts entstand die Topologie als eine eigenständige Disziplin, die auf lateinisch geometria situs (“Geometrie des Ortes”) oder analysis situs (Griechisch-Latein für “Analysieren des Ortes”) genannt wurde. Hieraus entwickelte sich der heute gebräuchliche Name.

Das Wort Topologie ist innerhalb der Mathematik mehrdeutig. Es wird sowohl als Name für das hier beschriebene Fachgebiet benutzt als auch für eine Familie von Mengen, die gewisse Eigenschaften erfüllen, so dass ein Topologischer Raum entsteht. Von besonderer Bedeutung ist der Begriff der Stetigkeit und insbesondere die so genannten Homöomorphismen. Diese lassen sich als stetige Abbildungen, für die eine stetige inverse Abbildung existiert, definieren.

Seit Jahrzehnten ist die Topologie als Grundlagendisziplin anerkannt. Dementsprechend kann sie neben der Algebra als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für alle Teilgebiete der Geometrie, die Analysis, die Funktionalanalysis, die Theorie der Lie-Gruppen, die Graphentheorie usw. Ihrerseits hat sie auch die Mengenlehre und Kategorientheorie befruchtet.

Die Topologie gliedert sich selbst in mehrere Teilgebiete. Hierzu zählen die algebraische Topologie, die geometrische Topologie sowie die Graphen- und die Knotentheorie. Die Mengentheoretische Topologie kann hierbei als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werde.

Überblick

Tasse und Torus sind zueinander homöomorph. Bemerkung: Ein Homöomorphismus wäre eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Torus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieses Übergangs.

Die Topologie untersucht die Eigenschaften topologischer Räume, die durch Verformungen mit Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Becher aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Donut, dessen Form in der Mathematik als Volltorus bezeichnet wird, und eine einhenkelige Tasse homöomorph.

Der axiomatische Aufbau der modernen Topologie beruht auf dem grundlegenden Konzept der „Nachbarschaft“, formalisiert als offene Menge, Umgebung oder innerer Kern.

Geschichte

Der Begriff „Topologie“ findet sich erstmals um 1840 bei Johann Benedict Listing; die ältere Bezeichnung analysis situs (etwa: Lageuntersuchung) blieb aber lange üblich und hatte auch ihren Bedeutungsschwerpunkt jenseits der neueren, „mengentheoretischen“ Topologie.

Die Lösung des Sieben-Brücken-Problems von Königsberg durch Leonhard Euler im Jahr 1736 gilt als die erste topologische und zugleich als die erste graphentheoretische Arbeit in der Geschichte der Mathematik. Ein anderer Betrag Eulers zur sogenannten Analysis situs ist der nach ihm benannte Polyedersatz von 1750. Bezeichnet man mit e die Anzahl der Ecken, mit k die der Kanten und mit f die der Flächen eines Polyeders (der noch zu präzisierenden Bedingungen genügt), so gilt e − k + f = 2. Erst im Jahr 1860 über hundert Jahre später wurde durch eine von Gottfried Wilhelm Leibniz angefertigte Abschrift eines verlorenen Manuskriptes von René Descartes bekannt, dass dieser die Formel bereits gekannt hatte.

Maurice Fréchet führte 1906 den metrischen Raum ein. Georg Cantor befasste sich mit den Eigenschaften offener und abgeschlossener Intervalle, untersuchte Grenzprozesse, und begründete dabei zugleich die moderne Topologie und die Mengentheorie. Die Topologie ist der erste Zweig der Mathematik, der konsequent mengentheoretisch formuliert wurde – und gab dabei umgekehrt den Anstoß zur Ausformung der Mengentheorie.

Eine Definition des topologischen Raumes wurde als erstes von Felix Hausdorff im Jahre 1914 aufgestellt. Nach heutigem Sprachgebrauch definierte er dort eine offene Umgebungsbasis, nicht jedoch eine Topologie, welche erst durch Kazimierz Kuratowski beziehungsweise Heinrich Tietze um 1922 eingeführt wurde. In dieser Form wurden die Axiome dann durch die Lehrbücher von Kuratowski (1933), Alexandroff/Hopf (1935), Bourbaki (1940) und Kelley (1955) popularisiert. Es stellte sich heraus, dass sich viele mathematische Erkenntnisse auf diese Begriffsbasis übertragen ließen. Es wurde beispielsweise erkannt, dass zu einer festen Grundmenge unterschiedliche Metriken existieren, die zur gleichen topologischen Struktur auf dieser Menge führten, aber auch, dass verschiedene Topologien auf der gleichen Grundmenge möglich sind. Die mengentheoretische Topologie entwickelte sich auf dieser Grundlage zu einem eigenständigen Forschungsgebiet, das sich in gewisser Weise aus der Geometrie ausgegliedert hat, beziehungsweise der Analysis näher steht als der eigentlichen Geometrie.

Ein Ziel der Topologie ist die Entwicklung von Invarianten von topologischen Räumen. Mit diesen Invarianten können topologische Räume unterschieden werden. Beispielsweise ist das Geschlecht einer kompakten, zusammenhängenden orientierbaren Fläche eine solche Invariante. Die Sphäre mit Geschlecht null und der Torus mit Geschlecht eins sind unterschiedliche topologische Räume. Die algebraische Topologie entstand aus Überlegungen von Henri Poincaré zur Fundamentalgruppe, die ebenfalls eine Invariante in der Topologie ist. Im Laufe der Zeit wurden topologische Invarianten wie die von Henri Poincaré untersuchten Bettizahlen durch algebraische Objekte wie Homologie- und Kohomologiegruppen ersetzt.

Grundbegriffe

Topologischer Raum

→ Hauptartikel: Topologischer Raum

Die Topologie befasst sich mit Eigenschaften topologischer Räume. Ein topologischer Raum ist zunächst einmal eine Menge von Punkten, die Struktur des Raumes bestimmt sich dann dadurch, dass bestimmte Teilmengen von Punkten als abgeschlossen ausgezeichnet werden. Abgeschlossene Mengen lassen sich als Mengen von Punkten vorstellen, die ihren Rand enthalten, oder anders ausgedrückt: Wann immer es Punkte der abgeschlossenen Menge gibt, die beliebig nah an einen anderen Punkt heranreichen (einen Berührpunkt), ist auch dieser Punkt in der abgeschlossenen Menge enthalten. Man überlegt sich, welche grundlegenden Eigenschaften im Begriff der abgeschlossenen Menge enthalten sein sollten und nennt dann, von spezifischen Definitionen der Abgeschlossenheit, etwa aus der Analysis, abstrahierend, jede mit diesen Bedingungen genügenden abgeschlossenen Teilmengen versehene Menge einen topologischen Raum. Zunächst einmal sollte die leere Menge abgeschlossen sein, denn sie enthält keinerlei Punkte, die andere berühren könnten. Ebenso sollte die Menge aller Punkte abgeschlossen sein, denn sie enthält bereits alle möglichen Berührpunkte. Ist eine beliebige Menge von abgeschlossenen Mengen gegeben, so soll der Schnitt, das heißt die Menge der Punkte, die in allen Elementen dieser Menge enthalten sind, ebenfalls abgeschlossen sein, denn hätte der Schnitt Berührpunkte, die außerhalb seiner liegen, so müsste bereits eine der zu schneidenden Mengen diesen Berührpunkt nicht enthalten, und könnte nicht abgeschlossen sein. Zudem soll die Vereinigung von zweien (oder endlich vielen) abgeschlossenen Mengen wiederum abgeschlossen sein, bei der Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen kommen also keine Berührpunkte hinzu. Von der Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen dagegen fordert man keine Abgeschlossenheit, denn diese könnten sich einem weiteren Punkte „immer weiter nähern“ und somit berühren. Dies motiviert die folgende Definition eines topologischen Raumes:

Ein topologischer Raum ist eine Menge von Punkten X versehen mit einer Menge von Teilmengen $\mathfrak{S} \subset \mathcal{P}\left(X\right)$ (den abgeschlossenen Mengen), die folgenden Bedingungen genügt:

1. $X \in \mathfrak{S}$ und $\empty \in \mathfrak{S}$.
2. Für $S \subset \mathfrak{S}$ ist auch $\textstyle\bigcap S \in \mathfrak{S}$.
3. Für $S \subset \mathfrak{S}$ endlich ist auch $\textstyle\bigcup S \in \mathfrak{S}$.

Offene Mengen

→ Hauptartikel: Offene Menge

Ausgehend von den abgeschlossenen Mengen lassen sich die offenen Mengen als die Teilmengen des Raumes definieren, deren Komplemente abgeschlossen sind, das heißt für jede abgeschlossene Menge bilden all die Punkte, die nicht in ihr enthalten sind, eine offene Menge. Üblicherweise werden topologische Räume in Lehrbüchern über die offenen Mengen definiert, analog zur Definition über abgeschlossene Mengen, definiert man:

Ein topologischer Raum ist eine Menge von Punkten X versehen mit einer Menge von Teilmengen $\mathfrak{T} \subset \mathcal{P}\left(X\right)$ (den offenen Mengen), die folgendn Bedingungen genügt:

1. $X \in \mathfrak{T}$ und $\empty \in \mathfrak{T}$.
2. Für $T \subset \mathfrak{T}$ ist auch $\textstyle\bigcup T \in \mathfrak{T}$.
3. Für $T \subset \mathfrak{T}$ endlich ist auch $\textstyle\bigcap T \in \mathfrak{T}$.

Die Menge $\mathfrak{T}$ der offenen Mengen wird auch als Topologie bezeichnet.

Dies Äquivalenz zur vorherigen Definition über abgeschlossene Mengen folgt unmittelbar aus den De Morgan’schen Gesetzen. Ausgehend von abgeschlossenen bzw. offenen Mengen lassen sich zahlreiche topologische Begriffe definieren, etwa die der Umgebung, des Berührpunktes (welche zuvor angesprochen wurden), der Stetigkeit und der Konvergenz.

Homöomorphismus

→ Hauptartikel: Homöomorphismus

Ein Homöomorphismus ist eine bijektive Abbildung („eins-zu-eins“) zwischen zwei topologischen Räumen, sodass durch punktweise Überführung der offenen Mengen auch eine Bijektion zwischen den Topologien der beiden Räume zustande kommt, dabei muss jede offene Menge auf eine offene Menge abgebildet werden. Zwei topologische Räume, zwischen denen es einen Homöomorphismus gibt, werden als homöomorph bezeichnet. Homöomorphe Räume unterscheiden sich nicht bezüglich aller topologischen Eigenschaften im engeren Sinne. Die Homöomorphismen können als die Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume aufgefasst werden.

Topologische Räume können mit Zusatzstrukturen ausgestattet werden, beispielsweise untersucht man uniforme Räume, metrische Räume, Mannigfaltigkeiten, topologische Gruppen oder topologische Ringe. Eigenschaften, die auf solche Zusatzstrukturen zurückgreifen, sind nicht mehr unbedingt unter Homöomorphismen erhalten.

Teilgebiete der Topologie

Die moderne Topologie wird grob in drei Teilgebiete mengentheoretische Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie unterteilt. Außerdem gibt es noch die Differentialtopologie. Dies ist die Grundlage der modernen Differentialgeometrie und wird trotz der umfangreich verwendeten topologischen Methoden meist als Teilgebiet der Differentialgeometrie betrachtet.

Mengentheoretische Topologie

Die mengentheoretische Topologie umfasst, wie auch die anderen Teilgebiete der Topologie, das Studium topologischer Räume und der stetigen Abbildungen zwischen ihnen. Zentrale Begriffe des Teilgebiets sind die Stetigkeit von Abbildungen, Kompaktheit, unterschiedliche Konzepte zum Zusammenhang und verschiedene Trennungseigenschaften.

Algebraische Topologie

→ Hauptartikel: Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie (auch „kombinatorische Topologie“, vor allem in älteren Publikationen) untersucht Fragestellungen zu topologischen Räumen, indem die Probleme auf Fragestellungen in der Algebra zurückgeführt wird. Innerhalb der Algebra sind diese Fragen oftmals leichter zu beantworten. Eine zentrales Problem innerhalb der Topologie ist beispielsweise die Untersuchung topologischer Räume auf Invarianten. Mittels der Theorie über Homologien und Kohomologien sucht man in der algebraischen Topologie nach solchen Invarianten.

Geometrische Topologie

→ Hauptartikel: Geometrische Topologie

Im Gegensatz zur mengentheoretischen Topologie befasst man sich in der geometrischen Topologie mit zwei-, drei- und vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten und nicht allgemein mit topologischen Räumen. Der Begriff zweidimensionale Mannigfaltigkeit bedeutet das gleiche wie Fläche und drei- und vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten sind entsprechende Verallgemeinerungen. Im Bereich der geometrischen Topologie interessiert man sich dafür, wie sich Mannigfaltigkeiten unter stetigen Transformationen verhalten. Typische geometrische Größen wie Winkel, Länge und Krümmung variieren unter stetigen Abbildungen. Eine geometrische Quantität, die nicht variiert und für die man sich daher interessiert, ist die Anzahl der Löcher einer Fläche. Da man sich fast nur mit Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner als fünf beschäftigt, nennt man dieses Teilgebiet der Topologie auch niedrigdimensionale Topologie. Außerdem gehört die Knotentheorie als Teilaspekt der Theorie dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten zur geometrischen Topologie.

Anwendungen

Die Allgemeinheit der topologischen Begrifflichkeit erlaubt zahlreiche Anwendungen in anderen Teilgebieten der Mathematik.

Diskussion eines Beispiels

Als Beispiel betrachten wir die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und die der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

Aufgrund Cantors ersten Diagonalargument gibt es bijektive Abbildungen zwischen $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$, sie sind also gleichmächtig. Somit sind sie als Mengen ununterscheidbar, solange man sie nur als Ansammlung von Elementen betrachtet, ohne deren Eigenschaften und Beziehungen zu berücksichtigen. Dass diese beiden Mengen sich offensichtlich doch unterscheiden, liegt an ihrer topologischen Struktur: In $\mathbb{Z}$ liegen alle Punkte isoliert, d. h. in einer gewissen Umgebung einer Zahl n liegt keine weitere ganze Zahl. Ganz anders ist es in $\mathbb{Q}$: Dort liegt in der Umgebung jedes Punktes – und sei sie noch so klein – immer noch ein weiterer Punkt. Deshalb gibt es keinen Homöomorphismus zwischen $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$: Es sind verschiedene topologische Räume.

In unserem Beispiel kann man für je zwei Punkte aus $\mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Q}$ den Abstand angeben. Eine Umgebung eines Punktes p besteht mindestens aus all den Punkten, deren Abstand zu p kleiner als eine Zahl c ist. Auf den ganzen Zahlen gibt es also kleine Umgebungen, die keinen weiteren Punkt enthalten, während für die rationalen Zahlen jede Umgebung eines Punktes unendlich viele weitere Elemente aus $\mathbb{Q}$ enthält, unabhängig davon, wie klein die Zahl c und damit die Umgebung gewählt wird.

Während die beiden obigen Beispiele den Begriff des Abstandes verwenden, besteht die Leistung der (mengentheoretischen) Topologie darin, das Konzept der Nähe auf das Wesentliche reduziert zu haben.

Dies gelingt, indem man statt der Abstandsfunktion nur noch die Menge aller Umgebungen betrachtet (bzw. in einer beliebigen Menge M zu jedem Punkt einen Satz von Teilmengen auswählt, die man als die Umgebungen dieses Punktes definiert). Man findet so viele Beispiele von topologischen Räumen, auf denen es nicht mehr möglich ist, den Abstand zwischen den Punkten anzugeben.

Es gibt zwei Gründe, die für die Betrachtung dieser Struktur sprechen: Zunächst gibt es natürliche Beispiele von Räumen, auf denen keine Abstandsfunktion definiert werden kann (z. B. manche Quotientenräume). Andererseits ist man oft nicht an dem konkreten Abstand interessiert: Man stelle sich einen Körper im $\mathbb{R}^3$ vor, den man ausbeult und verformt (ohne ihn aber zu zerreißen). Der Abstand zweier Punkte in diesem Objekt hat sich geändert, aber wichtige Grundeigenschaften sind geblieben, z. B. kann man zwei Punkte, die man vor der Verformung verbinden konnte, auch weiterhin verbinden, oder ein Punkt im Innern des Körpers bleibt im Innern.

Nicht jede Abbildung zwischen topologischen Räumen ist verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z. B. gibt es bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den rationalen Zahlen, aber die beiden Räume sehen ganz verschieden aus). Eine Abbildung ist in diesem Sinne gutartig und wird stetig genannt, „wenn sie die Nähe erhält“. Eine Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, die $x\ne 0$ auf 0 und 0 auf 1 abbildet, ist z. B. nicht stetig, denn Zahlen, die „in der Nähe von 0 liegen“, werden „weit weg“ von f(0) abgebildet.

Die mengentheoretische Topologie erlaubt die Konstruktion von sehr vielen Pathologien. Topologen beschäftigen sich deshalb mit spezielleren Räumen, zum Beispiel mit Mannigfaltigkeiten oder mit CW-Komplexen.

Literatur

Zur Geschichte

• I. M. Jones (Hrsg.): History of Topology. Elsevier, 1999, ISBN 0-444-82375-1.

Lehrbücher

• Nicolas Bourbaki: Topologie générale. Hermann, Paris 1961,1974. ISBN 2-7056-5692-8
• T. Camps, S. Kühling, G. Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, Lemgo 2006. ISBN 3-88538-115-X
• H. Herrlich, H. Bargenda: Topologie. Bd 1. Topologische Räume. Heldermann, Lemgo 1986. ISBN 3-88538-102-8
• Kazimierz Kuratowski: Topologie. Bd 1, Warschau 1933.
• H. Schubert: Topologie. Teubner, Stuttgart 1964. ISBN 3-519-12200-6
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, Berlin 2005. ISBN 3-540-21393-7
• Gerhard Preuß: Allgemeine Topologie. 2. Auflage. Springer, Berlin 1975. ISBN 3-540-07427-9
• René Bartsch: Allgemeine Topologie. 1. Auflage. Bd 1, Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007. ISBN 3-486-58158-9
• Jean-Pierre Petit: Die Abenteuer des Anselm Wüßtegern, Das Topologikon. 1. Auflage. Vieweg Verlagsgesellschaft, München 1995. ISBN 3-528-06675-X

Weblinks

 Commons: Topologie (Mathematik) – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

 Wikibooks: Mathematik: Topologie – Lern- und Lehrmaterialien

• Artikel zur Topologie auf mathematik.de
• Math Atlas Artikel
• Topology Atlas
• A history of Topology. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Buch zur Topologie zum kostenfreien Download (im PDF-Format, engl.)
• Comic zur Topologie zum kostenfreien Download (im PDF-Format, deutsch)