Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist.

Sei $K \in \{\R,\C \}$. Ein $K$-Vektorraum $E$, der zugleich topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn folgende Verträglichkeitsaxiome gelten:

• Die Addition $E \times E \to E$ ist stetig,
• Die Skalarmultiplikation $K \times E \to E$ ist stetig.

Bemerkungen:

• Manchmal wird auch zusätzlich gefordert, dass $E$ ein Kolmogoroff-Raum ist, also verschiedene Punkte stets topologisch unterscheidbar sind. Daraus folgt für topologische Vektorräume bereits die Hausdorffeigenschaft.
• Ist der topologische Vektorraum ein Hausdorff-Raum, so sind die Abbildungen, die eine Verschiebung um einen bestimmten Vektor oder eine Streckung um einen Skalar darstellen, Homöomorphismen. In diesem Fall reicht es, topologische Eigenschaften des Raumes im Ursprung zu betrachten, da jede Menge homöomorph in den Ursprung verschoben werden kann.
• $(E,+)$ ist eine topologische Gruppe.
• Es ist wichtig, dass die beiden genannten Abbildungen nicht nur komponentenweise stetig sind.

Beispiele

• Die wichtigsten Beispiele sind die normierten Vektorräume, darunter die Banachräume. Allgemeinere Beispiele sind die lokalkonvexen Räume, darunter die Fréchet-Räume.

• Die Menge $\textstyle \ell^p := \{(x_n)_n\in{\mathbb K}^{\mathbb N};\,\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty\}$ ist ein Vektorraum, der für $0<p<1$ mit der Metrik $\textstyle d_p((x_n)_n,(y_n)_n):=\sum_{n=1}^\infty |x_n - y_n|^p$ zu einem topologischen Vektorraum wird, der nicht lokalkonvex ist.

• Allgemeiner seien $(X,\mu)$ ein Maßraum und $0<p<1$. Dann macht die Metrik $\textstyle d_p(f,g):=\int_X|f(x)-g(x)|^p \mathrm d\mu(x)$ den L^p-Raum $L^p(X,\mu)$ zu einem topologischen Vektorraum, der im Allgemeinen nicht lokalkonvex ist. Ist $X={\mathbb N}$ und $\mu$ das Zählmaß, so erhält man das obige Beispiel $\ell^p$. Der Raum $L^p([0,1])$ besitzt außer dem Nullfunktional kein weiteres stetiges lineares Funktional.

• Jeder Vektorraum ist mit der chaotischen Topologie, das heißt nur die leere Menge und der gesamte Raum sind offen, ein topologischer Vektorraum.

Topologische Eigenschaften

• Jeder topologische Vektorraum ist als abelsche, topologische Gruppe ein uniformer Raum. Damit ist er insbesondere stets ein R₀-Raum und erfüllt das Trennungsaxiom T₃ (in der Bedeutung, dass T₀ nicht miteingeschlossen ist). Mittels dieser uniformen Struktur kann man Vollständigkeit und gleichmäßige Stetigkeit definieren. Jeder topologische Vektorraum kann vervollständigt werden und lineare stetige Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen sind gleichmäßig stetig.

• Für einen topologischen Vektorraum $X$ gilt: $X$ ist T₀ $\Leftrightarrow$ $X$ ist T₁ $\Leftrightarrow$ $X$ ist T₂ $\Leftrightarrow$$X$ ist ein Tychonoff-Raum.

• Jeder topologische Vektorraum besitzt eine Nullumgebungsbasis aus abgeschlossenen und ausgewogenen Mengen.

• Ein topologischer hausdorffscher Vektorraum besitzt genau dann ein vom Nullfunktional verschiedenes stetiges lineares Funktional, wenn er eine konvexe Nullumgebung besitzt. Diese Tatsache erlaubt es, für lokalkonvexe Räume eine reichhaltige Dualitätstheorie aufzustellen, die für allgemeine topologische Vektorräume in dieser Form nicht gilt. Im Extremfall, siehe obiges Beispiel $L^p([0,1])$, ist das Nullfunktional das einzige stetige lineare Funktional.

Literatur

• Helmut H. Schaefer: Topological Vector Spaces. Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-98726-6.
• Hans Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9.