Torsionstensor

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Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.[1]

Definition[Bearbeiten]

Sei (M,\nabla) eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang \nabla. Der Torsionstensor T ist ein Tensorfeld, das durch

T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]

definiert ist. Dabei sind X,Y \in \Gamma(TM) zwei Vektorfelder und [\cdot,\cdot] meint die Lie-Klammer.[2]

Lokale Darstellung[Bearbeiten]

Sei e_1, \ldots , e_n ein lokaler Rahmen, des Tangentialbündels TM. Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man X := e_i, Y := e_j und \gamma^k_{ij} e_k := [e_i,e_j], dann gilt für die Komponenten T^k_{ij} des Torsionstensor in lokalen Koordinaten

 T^k{}_{ij} = \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.

Dabei bezeichnen die Symbole \Gamma^k_{ij} die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

 T^k{}_{ij} = \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere C^\infty-linear in seinen drei Argumenten.
  • Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt es gilt T(X,Y) = - T(Y,X).

Symmetrischer Zusammenhang[Bearbeiten]

Ein affiner Zusammenhang \nabla heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

T(X,Y) = 0 \Leftrightarrow \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang \nabla und c \colon \left]- \epsilon , \epsilon \right[ \times \left]a,b\right[ \to M eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

 \nabla_\frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial}{\partial t} c(s,t) = \nabla_\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial s} c(s,t)\,.

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach s mit der nach t vertauscht werden.[3]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée).
  2. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.
  3. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.