Total unzusammenhängender Raum

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Total unzusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In jedem topologischen Raum sind einelementige Teilmengen und die leere Menge zusammenhängend. Die total unzusammenhängenden Räume sind dadurch gekennzeichnet, dass es in ihnen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

Das wohl bekannteste Beispiel ist die Cantor-Menge. Total unzusammenhängende Räume treten in vielen mathematischen Theorien auf.

Definition[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum heißt total unzusammenhängend, wenn es neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Unterräume und Produkte total unzusammenhängender Räume sind wieder total unzusammenhängend.[1]
  • Jede stetige Abbildung von einem zusammenhängenden Raum in einen total unzusammenhängenden Raum ist konstant, denn das Bild ist wieder zusammenhängend und daher einelementig.

Anwendungen[Bearbeiten]

Boolesche Algebren[Bearbeiten]

Nach dem Darstellungssatz von Stone gibt es zu jeder Booleschen Algebra einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten, total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorrfraum X, so dass die Boolesche Algebra isomorph zur Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen von X ist.[2]. Daher nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume in diesem Zusammenhang auch Boolesche Räume.

C*-Algebren[Bearbeiten]

Jede kommutative C*-Algebra A ist nach dem Satz von Gelfand-Neumark isometrisch isomorph zur Algebra der stetigen Funktionen X\rightarrow \C für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten lokalkompakten Hausdorffraum X_A. Es gilt[3]:

p-adische Zahlen[Bearbeiten]

Die ganzen p-adischen Zahlen \Z_p zu einer Primzahl p sind bekanntlich als Reihen der Form \textstyle \sum_{i=0}^\infty a_ip^i mit a_i \in\{0,\ldots,p-1\} darstellbar. Damit kann man \Z_p mit \{0,\ldots,p-1\}^{\N_0} identifizieren, was \Z_p zu einem total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum macht. Dann ist der Körper der p-adischen Zahlen \textstyle \Q_p = \bigcup_{n=0}^\infty p^{-n}\Z_p ein σ-kompakter, lokalkompakter, total unzusammenhängender Raum.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Philip J. Higgins: An Introduction to Topological Groups, Cambridge University Press (1975), ISBN 0-521-20527-1, Kapitel II.7, Satz 9
  2. Paul R. Halmos: Lectures on Boolean Algebra, Springer-Verlag (1974), ISBN 0-387-90094-2, §18, Theorem 6, Theorem 7
  3. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-8218-0599-1, Example III.2.5.