Trägheitssatz von Sylvester

Der Trägheitssatz von Sylvester oder sylvesterscher Trägheitssatz, benannt nach James Joseph Sylvester, ist ein Resultat aus der linearen Algebra. Dieser Satz macht eine Aussage über Invarianten darstellender Matrizen von symmetrischen Bilinearformen.

Aussage des Satzes

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\C$-Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform $s \colon V \times V \rightarrow \C$. Der Ausartungsraum $V_0$ von $V$ ist definiert als

$V_0 := \{v \in V: s(v,w) = 0\ \forall w \in V\}$.

Der sylvestersche Trägheitssatz besagt nun, dass eine direkte Summe

$V = V_+ \oplus V_- \oplus V_0$

mit

$\forall_{v\in V_+}s(v,v)>0,\,\forall_{v\in V_-}s(v,v)<0$

existiert und dass hierbei die Zahlen $r_+(s) = \dim(V_+)$, $r_-(s) = \dim(V_-)$ und $r_0(s) = \dim(V_0)$ (letztere trivialerweise) Invarianten von s sind, das heißt für alle solchen Zerlegungen gleich. Insbesondere ist

$r_+(s) = \max\{\dim(W) : W \subset V\ \mathrm{Untervektorraum\ und}\ \forall v \in W, v\neq 0 \to s(v,v) > 0 \}$.

Die analoge Aussage gilt auch für $r_-(s)$.

Außerdem folgt aus der direkten Zerlegung sofort $r_+(s) + r_-(s) + r_0(s) = \dim(V)$.

Das Tripel $\sigma(s) = \left(r_+(s), r_-(s), r_0(s)\right)$ heißt Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von $s$.

Folgerungen und Bemerkungen

• Aus dem Satz folgt, dass zu einer gegebenen symmetrischen Bilinearform s mit den Invarianten $r_+(s)$ und $r_-(s)$ eine Basis existiert, sodass die darstellende Matrix von s die Diagonalform
  $S^TAS=\operatorname{diag}(\underbrace{1,\ldots,1}_{r_+(s)\text{-mal}},\underbrace{-1,\ldots,-1}_{r_-(s)\text{-mal}},\underbrace{0,\ldots,0}_{r_0(s)\text{-mal}})$
  besitzt.
• Seien $A \in \R^{n\times n}$ eine symmetrische Matrix und $S \in GL(n,\R)$ eine invertierbare Matrix. So besagt eine zweite Folgerung aus dem Satz, dass $A$ und $S^TAS$ mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben. Dies ist nicht trivial, denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation $SAS^{-1}$ invariant, nicht jedoch unter $S^TAS$.
• Der Trägheitssatz ist für hermitesche Bilinearformen nicht gültig.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0