Trägheitssatz von Sylvester

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Der Trägheitssatz von Sylvester oder sylvesterscher Trägheitssatz, benannt nach James Joseph Sylvester, ist ein Resultat aus der linearen Algebra. Dieser Satz macht eine Aussage über Invarianten darstellender Matrizen von symmetrischen Bilinearformen beziehungsweise hermitescher Sesquilinearformen und liefert damit die Grundlagen zur Definition der Signatur.

Aussage des Satzes[Bearbeiten]

Sei V ein endlichdimensionaler \C-Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform s \colon V \times V \rightarrow \C. Der Ausartungsraum V_0 von V ist definiert als

V_0 := \{v \in V: s(v,w) = 0\ \forall w \in V\}.

Der sylvestersche Trägheitssatz besagt nun, dass eine direkte Summe

 V = V_+ \oplus V_- \oplus V_0

mit

s(v,v) > 0 für alle v \in V_+ \setminus \{0\}\ \text{und} \qquad s(v,v) < 0 für alle v \in V_- \setminus \{0\}

existiert.

Insbesondere existiert also eine Basis von V, so dass die Darstellungsmatrix A der hermiteschen Sesquilinearform s die Diagonalgestalt

A := \begin{pmatrix}
1       & 0      & 0 & 0  & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0\\
0       & \ddots & 0 &    &        &   &   &        & \vdots\\
0       &  0     & 1 & 0  &        &   &   &        & 0\\
0       &        & 0 & -1 & 0      &   &   &        & 0\\
\vdots  &        &   & 0  & \ddots & 0 &   &        & \vdots\\
0       &        &   &    & 0      &-1 & 0 &        & 0\\
0       &        &   &    &        & 0 & 0 & 0      & 0\\
\vdots  &        &   &    &        &   & 0 & \ddots & 0\\
0       & \ldots & 0 & 0  & \ldots & 0 & 0 & 0      & 0
\end{pmatrix}

hat. Diese Darstellungsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen die Einträge 1, -1 und 0, alle anderen Koeffizienten sind 0.[1]

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Seien A \in \R^{n\times n} eine symmetrische Matrix und S \in GL(n,\R) eine invertierbare Matrix. So folgt aus dem Satz, dass A und S^TAS mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben. Dies ist nicht trivial, denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation SAS^{-1} invariant, nicht jedoch unter S^TAS.
  • Der Trägheitssatz ist für hermitesche Bilinearformen nicht gültig.

Signatur[Bearbeiten]

Hauptartikel: Signatur (lineare Algebra)

Die Räume V_+, V_- und V_0 seien wie im ersten Abschnitt definiert. Dann folgt aus dem Trägheitssatz, dass die Zahlen

\begin{align}
r_+(s) &:= \dim(V_+),\\ 
r_-(s) &:= \dim(V_-)\ \text{und}\\
r_0(s) &:= \dim(V_0)
\end{align}

Invarianten der hermiteschen Sesquilinearform s \colon V \times V \rightarrow \C sind. Insbesondere ist

 r_+(s) = \max\{\dim(W) : W \subseteq V\ \mathrm{Untervektorraum\ und}\ s(w,w) > 0\ \forall w \in W \setminus \{0\}\}.

Die analoge Aussage gilt auch für r_-(s). Außerdem folgt aus der direkten Zerlegung die Gleichheit

 r_+(s) + r_-(s) + r_0(s) = \dim(V).

Das Tripel \sigma(s) = \left(r_+(s), r_-(s), r_0(s)\right) heißt Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von s.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 278–281.