Transitive Menge

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In der Mengenlehre nennt man eine Menge A transitiv, falls

  • aus x\in A und y\in x immer folgt, dass y\in A,

oder äquivalent falls

  • jedes Element von A auch eine Teilmenge von A ist.

Analog dazu nennt man eine Klasse M transitiv, falls jedes Element von M eine Teilmenge von M ist.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
  • Ein Grothendieck-Universum ist per Definition eine transitive Menge.
  • Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Eine Menge X ist genau dann transitiv, wenn \bigcup X \subseteq X, wobei \bigcup X = \bigcup_{x\in X} x die Vereinigung aller Elemente von X ist, also \bigcup X = \{y | (\exists x \in X) y \in x\}.
  • Falls X transitiv ist, dann ist auch \bigcup X transitiv.
  • Falls X und Y transitive Mengen sind, dann ist auch X \cup Y\cup\{X,Y\} transitiv
  • Allgemein, falls X eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist X \cup \bigcup X eine transitive Klasse.
  • Eine Menge X ist genau dann transitiv, wenn X eine Teilmenge der Potenzmenge von X ist.
  • Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der von-Neumann-Hierarchie verwendet um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]